Об индуктивных размерностных инвариантах

• Автор: Чатырко, Виталий Альбертович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 c. : ил

Глава I. Змеевидные бикомпакты с несовпадающими размерностями.

§ I. Некоторые достаточные условия змеевидности бикомпактов

§ 2. Сепарабельный с 1-ой аксиомой счетности змеевидный бикомпакт (I ) с 1а. = 1гЛ (1 )-

= <5"с/го((1 !^^') = £ для любой точки осе(1

§ 3. Сепарабельный с 1-ой аксиомой счетности змеевидный би- -компакт (^1 )^э) с ьгис/^(1 - сГЧао/Ц

для любой точки зс е(1 ,

§ 4. Общая конструкция и первая основная теорема

Глава 2. Однородные бикомпакты с несовпадающими размерностями.

§ I. Построение бикомпактов(0> ) , X

§ 2. Свойства бикомпактов ((^>т

§ 3. Однородность бикомпактов (($^ а; ? ) J п. - 2}Ъ}

Цитированная литература

Вопрос о взаимоотношениях между основными размерност-ными инвариантами clem. , Lred , Jixci является одним
из основных вопросов теории размерности. Еще П.С.Урысоном бьшо установлено совпадение всех трех размерностей для метрических компактов. Для неметризуемых бикомпактов X выполняются лишь неравенства dim X ^ incf X 4 7по/X И построен длинный ряд примеров / Лунц [4 J, Локуциевский L 3j^ Вопенка[18 ], Мардешич[ 17 J, Пасынков[ 5 J- [ 7 Лифа-нов[ 8 ], Филиппов [ 12 ]-[ 13 J, Федорчук[" 9 ]-[ 10 j, Бобков [2 ]и др. / бикомпактов с несовпадающими размерностями dim. и Lnoi , ind и Упс1 , И с различными дополнительными свойствами..В частности Мардешич[17 ]построил змеевидный бикомпакт М С inc/ М = 2 . Напомним, что бесконечный бикомпакт называется змеевидным, если в любое его открытое покрытие можно вписать открытое цепное покрытие, то есть такое покрытие }L=i , ЧТО VL
тогда и только тогда, когда j i-j j ~ 1 • Как нетрудно
заметить, змеевидность бикомпакта X > во-первых, гарантирует его связность и одномерность в смысле лебеговой размерности dim и, во-вторых, означает, что с комбинаторной точки зрения среди всех одномерных бикомпактов он устроен максимально простым образом, а тленно : для любого своего открытого покрытия CJ он обладает CJ - отображением на отрезок, то есть в топологическом смысле отличается от отрезка сколь угодно мало. В[17 ]Мардешич выразил надежду на существование змеевидных бикомпактов со сколь угодно большой индуктивной размерностью ind . Основная теорема гла-

вы I из § 4 отвечает на предположения Мардешича утвердительно.
Теорема 1.4.1. Для любого fl-2, Ъ,... существует сепарабельный с I-ой аксиомой счетности змеевидный бикомпакт (I с Lncl (1 3 j = /1 для любой
ТОЧКИ СС<Ь (1 ) с .
Отметим, что впервые змеевидный бикомпакт /V с 1-ой аксиомой счетности и с Ln.ol/Y-2 был построен Л.Ю. Бобковым [ 2 ]. Однако и в примере Бобкова, и в примере Мардешича
размерность Lrid равнялась 2 не во всех точках соответствующих бикомпактов. Отметим также, что метод построения бикомпактов Г, О является развитием и специализацией методов вполне замкнутых отображений В.В.Федорчука /[ 9],[ 10 ] и др. / . Напомним, что непрерывное отображение /■/-У называется вполне замкнутым, если для любой точки y^Y и любого покрытия CJ = (Ос U.J прообраза f ^ точки
открытыми в X множествами множество и... и f*0„
является окрестностью точки ^ . Всякое вполне замкнутое
отображение, очевидно, замкнуто и имеет место, используемое в главе
Предложение / Федорчук[ и]/. Пусть ^•' Х~~Y вполне замкнутое отображение нормального пространства X на паракомпактное пространство Y . Тогда cLirn. X 6 шсхсс cdm cLim YJ.
Бикомпакты из теоремы 1.4.I связаны вполне замкнутыми отображениями ^-(I , ) ”* (J ^ ) г П~ Z, Ъ,
Взятие предела возникающей обратной последовательности позволяет получить следующее утверждение.

п~1 По определению базисной окрестности
= к, (0((4-.Ч, Г^)л0(К .-1,);
4 б 0((Ч>--Нч44<‘4П>))-
V <Ч
Но по лемме 5.4.1 . , .
Следовательно, А 1 ^ у1 0((^р ^°т-1);<с
I-1>.. )ку.-1/). Что и требовалось. Нетрудно проследить следующую цепочку включений А^=(1 0,^-1 )^( У1 ^((эс 1 >■ •,‘хт-рОс
ии> х-Нччч У»?:-!)4 оси
<Сс,<Щ> 0((х°,.- >хт-А<сс,4> Ы , -пч-1)
Следствие доказано.
Из него сразу же вытекает вполне замкнутость отображений О, т.
о т4 ’ и следовательно их замкнутость и
совершенность. Отсюда по индукции сразу же выводится бикомпактность пространств 4 И. г> = г, V
Заметим, чтоАГф'У^) - бикомпакт гомеоморфный бикомпакту (ИИ т.-О •
По теореме [ II ] и индукции
с/ С/П. (Т^ПХ.) — ^
Лемма 6.4.I. Пусть 0 - 0(Сзс^} , ;^^ --• т>)
базисная окрестность и <(<4 с/> - компонента прообраза Зое0 п-У » ленащая в промежутке <Чт.1 , >.

Тогда справндливо включение
К^ЧИЧ-Н-.гсИ.ЧЧх! т-г,<сД>>0,
Где Хт_£