Геометрия оснащённых подмногообразий в пространстве проективно-метрической связности

• Автор: Голубева, Екатерина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Чебоксары
• Количество страниц: 127 с.

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

2. ОБЩАЛ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

1. Постановка вопроса и актуальность темы

2. Цель работы

3. Методы исследования

4. Научная новизна

5. Теоретическая и практическая значимость

6. Апробация

7. Публикации

8. Вклад автора в разработку избранных проблем

9. Структура и объём работы

10. Некоторые замечания
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
ГЛАВА 1. Двойственная геометрия нормализованного пространства проективно-метрической связности
§1. Пространство проективно-метрической связности
1. Теорема Картана-Лаптева
2. Пространство проективно-метрической связности
3. Метрика пространства проективно-метрической связности
§2. Двойственные пространства проективно-метрической связности без кручения
1. Поля геометрических объектов нормализованного пространства проективно-метрической связности
2. Индуцированные пространства проективной связности
3. Инволютивные преобразования форм связности и двойственные пространства
4. Двойственные пространства проективно-метрической связности
без кручения
5. Тангенциальное пространство проективно-метрической связности, индуцируемое полярной нормализацией пространства Кпп
6. А - и В - пространства проективно-метрической связности

§3. Геометрии двойственных пространств аффинной связности

1. Двойственные аффинные связности
2. Геометрии двойственных пространств аффинной связности
3. Геометрия средней аффинной связности
4. Пространство аффинной связности, индуцируемое полярной нормализацией пространства Кпп
§ 4. Приложение геометрии проективно-метрического пространства Кп к изучению теории плоских сетей Т,паКг
1. Дифференциальные уравнения сети с Кп и инвариантные образы, порождаемые ею
2. Сопряжённая относительно поля конусов направлений
ак1(01С01 = ® «-сопряжённая система с Кп
3. Сопряжённые чебышевские и геодезические я-сопряжённые системы 2Д с Кп первого и второго родов
ГЛАВА 2. Двойственная геометрия регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективно-метрической связности
§1. Тангенциальное пространство проективно-метрической связности без кручения, индуцируемое регулярным распределением гиперплоскостных элементов
ППоля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на регулярном распределении 91 в Кп п
2. Двойственный образ регулярного распределения гиперплоскостных элементов 91 в Кпп и тангенциальное пространство
проективно-метрической связности Кп п без кручения
§2. Двойственные поля соприкасающихся гиперквадрик
ГПоле соприкасающихся гиперквадрик £>и2_, на распределении 91 в Кп п и поле двойственных геометрических образов
2. Поле соприкасающихся гиперквадрик на распределении 91 в Кп и поле двойственных геометрических образов
§3. Полярное распределение гиперплоскостных элементов

ГЛАВА 3. Внутренняя геометрия нормализованного регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективно-метрической связности
§1. Внутренние инвариантные оснащения в смысле А. П. Нордена распределения 51 в Кпп
§2. Двойственные аффинные связности на нормализованном распределении гиперплоскостных элементов

1. Двойственные пространства аффинной связности Апп_, и Апп_х, индуцируемые нормализацией распределения 51 в Кпп
2. Оснащения в смысле Э. Картана распределений 51 в Кп п,
51 в Рп п и нормализации пространств Кп п, Рп п

3. Двойственные пространства аффинной связности Ап „ и Ап „
§3. Нормализации взаимно-полярных распределений гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве Кп
1. Взаимно-полярные нормализации распределений 51 и 51 в Кп
2. Взаимно-полярные аффинные связности, индуцируемые нормализацией распределения 51 с Кп
ЛИТЕРАТУРА

пространства проективно-метрической связности Кпп без кручения, равносильно обращению в ноль чебышевского вектора Ак, что с учётом соотношений (1.53), (1.75) - (1.77) приводит к одновременному совпадению
форм связности соI и со|, соj и а>1. Таким образом, справедлива
Теорема I. 6. Если исходное нормализованное пространство про-

ективно-метрической связности К пп имеет нулевое кручение, то требо3 / 4
вание симметричности тензора аи {аи) пространства проективной

связности без кручения Рп п (Рпп) приводит к одновременному совпаде3 2
нию Рп п = Р„ и, Р„'„ = Кпп.

Из последней теоремы следует, что если пространство Рпп или Рп п,
индуцируемое при невырожденной нормализации пространства проектив-

но-метрической связности Кп п без кручения, также имеет нулевое кручение, то вопрос о нахождении критерия быть пространством проективнометрической связности нужно ставить лишь по отношению к пространству

Л п,п •
Ниже предполагается, что оба двойственных между собой простран-

ства Кп п и Рп п имеют нулевые кручения, то есть
^057’ ~ ^05Т ~ 0. (1.108)

При таком предположении, согласно теореме 1.5, тензор ац симметричен.
Продолжая уравнения (1.1030 ПРИ 9 = 2, с использованием (1.78)), (1.79), (1.108) находим
2 2 2 ' 2 2 2 dац-акз соI - а 1к Cl)J =аиксо0 , (1.109)

2 2 2 , 2 , 2 2П1

2 2 22 2 2 0 ^а1[ж] =~а1У £к]0 + £ І0 ^ 1Ж + а и ^03К+С В'ЇЖ' (1.1 10)
Симметрия тензора аи равносильна тождеству

ацтъ лсоц =0; (1.111)
при этом из уравнений (1.109) следует