Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических

• Автор: Шнурников, Игорь Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Наборы псевдопрямых на проективной плоскости
1.1 Линейные неравенства на числа точек пересечения фиксированной кратности
1.2 Оценки числа областей для наборов псевдопрямых с ограниченными вырождениями
1.3 Множества чисел связных компонент дополнений к наборам п псевдопрямых
2 Наборы замкнутых кривых на двумерных поверхностях
2.1 О числе связных компонент в неклеточных разбиениях сфер с ручками
2.2 Множества чисел областей в разбиениях торов и бутылок Клейна
2.3 Разбиения тетраэдров наборами замкнутых геодезических
2.4 Замкнутые геодезические на замкнутых гиперболических поверхностях
3 Наборы подмногообразий коразмерности один
3.1 Гомологическая оценка числа компонент связности
3.2 Применение функции Мёбиуса для наборов гиперплоскостей
3.3 Множества чисел областей в разбиениях проективных пространств
3.4 Разбиения плоских с?-мерных торов и пространств Лобачевского
Заключение
Список литературы

Введение
Работа относится к теории конфигураций подмногообразий — активно развивающемуся направлению, связанному с комбинаторикой, алгебраической топологией, теорией узлов, алгебраической геометрией. Под теорией конфигураций подмногообразий мы имеем в виду в первую очередь результаты, касающиеся комбинаторики и топологии конечных наборов плоскостей и их дополнений в аффинных и проективных пространствах, а также обобщения на наборы подмногообразий в других многообразиях. Базовые факты теории см. в книге П. Орлика, X. Терао [31] 1992 г., а геометрические аспекты — в обзоре В. А. Васильева [3] 2001 г. Ряд обобщений для произвольных многообразий сделал П. Дешпанд [16] в 2011 г.
Обзор основных известных результатов.
Комбинаторика числа областей. Я. Штейнер [36] в 1826 г. рассматривал разбиения трехмерного евклидова пространства конечными наборами поверхностей, состоящими из семейств параллельных плоскостей и концентрических сфер, причем любые две поверхности из разных семейств пересекались и все семейства находились в общем положении относительно друг друга. Я. Штейнер нашел число областей пространства для таких разбиений с указанными числами поверхностей в семействах. Пусть евклидово пространство разбивается набором из п плоскостей коразмерности один (гиперплоскостей) в объединение многогранных областей. Р. Бак [12] в 1943 г. нашел числа всех к -мерных граней и числа всех ограниченных А;-мерных граней в разбиениях пространства гиперплоскостями общего положения для к = 0,1
Формула Заславского. Т. Заславский [37] в 1975 г. определил характеристический многочлен набора гиперплоскостей аффинного или проективного пространства с помощью функции Мёбиуса частично упорядоченного множества пересечений; нашел линейные комбинации значений характеристи-

ческого многочлена в некоторых точках, задающие число всех областей и число ограниченных областей в разбиениях пространства гиперплоскостями (для ограниченных областей требуется, чтобы пересечение всех гиперплоскостей было точкой или пустым множеством). Р. Эренберг, М. Рэдди, М. Слоун [18] в 2009 г. определили характеристический многочлен и предъявили аналогичные формулы для клеточных разбиений многомерного плоского тора набором плоских подторов коразмерности один. П. Дешпанд [16] в 2011 г. обобщил формулы Заславского для наборов подмногообразий (в определении наборов подмногообразий требовалось, чтобы пересечение подмногообразий было локально гомеоморфно пересечению плоскостей).
Когомологии дополнения. П. Орлик и J1. Соломон [30] в 1980 г. выразили кольцо целочисленных когомологий дополнения к набору комплексных гиперплоскостей через ч.у. м. пересечений гиперплоскостей (построенная алгебра была названа в их честь). Они заметили, что характеристический многочлен для набора вещественных гиперплоскостей совпадает с многочленом Пуанкаре для комплексифицированного набора. Отсюда следует, что число областей разбиения вещественного пространства Шт набором гиперплоскостей равно сумме чисел Бетти дополнения вСт к объединению комплексифи-цированных гиперплоскостей. Обзор С. А. Юзвинского [10] 2001 г. посвящен свойствам алгебр Орлика-Соломона и некоторым их приложениям. М. Го-рески и Р. Макферсон [4] выразили целочисленные когомологии дополнения в вещественном пространстве к набору аффинных плоскостей произвольных размерностей в терминах порядкового комплекса этого набора и размерностей пересечений плоскостей.
Гомотопические свойства дополнений к наборам плоскостей. Г. М. Циглер [38] в 1993 г. построил примеры наборов вещественных плоскостей коразмерности два с четномерными пересечениями, имеющих одинаковые ч.у.м. пересечений, но у которых дополнения' к объединениям плоскостей имеют неизоморфные алгебры Z-когомологий и неизоморфные фундаментальные группы. Г. J1. Рыбников [9, 33] нашел две комбинаторно эквивалентные конфигурации прямых на комплексной проективной плоскости, у которых фундаментальные группы дополнений не изоморфны.

По лемме 1.6 верно неравенство
п(п — 1) т — 2
/1 + - - + в

Умножим неравенство (1.41) наш — 1, неравенство (1.42) на 2т и сложим:
(3т — 1)/ 2т(п — т)(т — 2) + 2т2 + 2п(п — 1).
Отсюда получаем требуемое неравенство. □
Замечание 1.3. Найдем все пары чисел (п, т) сш4ип)т + 1, при которых теорема 1.4 сильнее неравенства (1.19) теоремы 1.3. Сравним правые части соответствующих неравенств на числа областей
п2 + (т2 — 2т — 1)п — т3 + 3 т2 п2 — п + 2т
1' > <>
3 т — 1 т +
-гФ- (т — 2) (га — т — 1)(2п — т2 — т) < 0.
то2 + т
Следовательно, при
т + 1 < п <
теорема 1.4 сильнее неравенства (1.19) теоремы 1.3.
Замечание 1.4. Если для (п,т,/) конфигурации псевдопрямых
п2 — п + 2т'

т. +
то конфигурация принадлежит одному из следующих типов.

п = т + 1, т 2, / = 2п — 2, = т, 43 = ... = £т_1 = 0, — 1.

п 7, т = 3, / = —-— + 2.
При этом не все конфигурации второго типа подходят, но, например, подходят
п = 6, т = 3, / = 12, 2 = 3

п = 7, т = 3, / = 16, 2 = 3, £3 = 6.