Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса

• Автор: Гальцев, Сергей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с. : ил.

Содержание.
Введение
1.1 Несамосопряженные операторы
1.2 Актуальность темы
1.3 Уравнение на торе
1.4 Постановка задачи и формулировка результата
1.5 Апробация диссертации
1.6 Краткое содержание работы
1.7 Благодарность
Псевдоспектр
2.1 Определение и основные свойства
2.2 Псевдоспектр плотен в числовом образе
2.3 Псевдоспектр + гУ(х)
Асимптотика спектра
3.1 План нахождения спектра в частном случае гУ (г) = гсов(г)
3.2 Точки поворота
3.3 Вспомогательные утверждения
3.4 Линии Стокса
3.5 Реализуемость топологических случаев
3.6 Матрица монодромии и условие на спектр
3.7 Матрицы перехода
3.8 Асимптотика спектра
3.9 Спектральный граф
Литература

Введение.
1.1. Несамосопряженные операторы
Ряд вопросов, естественно возникающих в спектральной теории дифференциальных операторов, приводит к исследованию спектра оператора
® = ~к2х*+ІУ’ (1)
где V(х) — периодичная целая аналитическая функция, действительная на действительной оси, с вещественным периодом Т, а /і > 0 — малый параметр. В частности, (1) возникает как “эталонный” оператор в теории гидродинамической устойчивости: его спектр при определенных условиях похож на спектр оператора Орра-Зоммерфельда. Другой пример — спектральная задача для оператора є А + (г (ж), V) на плоском торе (здесь х = (ац, х2) Є Т2). Если ь(х) бездивергентное поле вида у(х,х2) = и)(хі)§, спектральная задача допускает разделение переменных: собственная функция ір(хі, хф) имеет вид егтх2причем ф удовлетворяет спектральной задаче для оператора (1) при У(х) = тиі(хі) и є = к2.
Спектральная теория несамосопряженных операторов, сравнительно с самосопряженным случаем, разработана значительно менее полно; как структура спектра, так и свойства спектрального разложения могут в этом случае быть весьма экзотическими, что чрезвычайно затрудняет развитие общей теории (см., например, [1]). В то же время, ряд важных задач, возникающих в различных областях математики, механики и физики, приводит к изучению спектров несамосопряжениых операторов. Приведем несколько популярных примеров.
1. Оператор диффузии со сносом єД + дь, где Д — оператор Лапласа-Бельтрами, д„ — производная вдоль гладкого векторного поля V на рима-новом многообразии (є > 0 — коэффициент диффузии), возникающий как в механике сплошных сред и кинетической теории, так и в задачах теории случайных процессов.
2. Оператор магнитной индукции М, действующий на магнитное поле Н в проводящей жидкости с полем скоростей V (Н,у — векторные поля в К3):
МН = {и, Я} - є АН,
где — коммутатор векторных полей, є > 0 — проводимость. Исследование поведения спектра этого оператора при є —> 0 связано с известной проблемой магнитного динамо (см., например, [5]).

3. Операторный пучок Орра-Зоммерфельда С), возникающий в теории гидродинамической устойчивости (см., например, [21]); операторы этого пучка действуют на функцию и(х) по правилу
Яи = (2 -Р2) и + Р (м*) “ Ш) {~2 - Р‘2) “ ""С®)) и’
где у(х) — гладкая функция (невозмущенный профиль скорости), р — волновое число возмущения, ш — частота (спектральный параметр), е — коэффициент вязкости (е-1 — число Рейнольдса).
1.2. Актуальность темы
Отметим, что во всех приведенных примерах присутствует параметр е, который во многих типичных ситуациях бывает малым; тем самым, естественный вопрос состоит в изучении предельного поведения спектра при £ —> 0. Для самосопряженных задач такие пределы изучаются в теории квазиклас-сических асимптотик (см., например, [7, 6]); в этой теории асимптотические собственные числа и собственные функции связываются с инвариантными изотропными многообразиями соответствующих классических гамильтоновых систем (как правило, определенных в К2п или в кокасательном расслоении к риманову многообразию). Собственные числа вычисляются из условий квантования Бора-Зоммерфельда-Маслова
(р,йх) = т{р) + /(/?),
2-7ГЄ

где (3 — произвольный цикл на изотропном многообразии, (р,х) — канонические координаты в фазовом пространстве, т Є Ъ, I — числовая характеристика циклов, которая определяется по-разному в различных ситуациях; в частности, если изотропное многообразие лагранжево, I равно четверти от индекса Маслова. Асимптотические собственные функции строятся при помощи (вещественного или комплексного) канонического оператора Маслова; отметим, что они не обязательно приближают настоящие собственные функции исходной задачи, а лишь удовлетворяют с нужной точностью спектральному уравнению. В то же время, самосопряженность исходного оператора гарантирует наличие в его спектре точек, близких к асимптотическим собственным числам (решениям уравнений Бора-Зоммерфельда-Маслова).
Относительно квазиклассических асимптотик спектров несамосопряженных операторов известно гораздо меньше. В частности, в работах [20, 3] построены спектральные серии оператора — є А + ди. связанные с асимптотически устойчивыми положениями равновесия, предельными циклами или инвариантными торами векторного поля V. (Спектральные серии, вообще говоря, определяют точки псевдоспектра, см. [26, 19]; в то же время, асимптотическая устойчивость соответствующих инвариантных множеств указывает на то, что, вероятно, эти серии приближают точные собственные числа — в явно решаемых примерах это действительно так.) В [8, 10, 15, 11, 13]

sign cos arg(icosT — E= sign(cosa;), следовательно, по формуле косинуса половинного угла:
cos arg(i cos x — E)j — sign (cos ж)
Значит
Re Vi cos x — E — Re /icosx — E el arg cosx~E

V cos2 x+E2
=
= yf COS2 X + E2 sign (cos x) у Vcos x+E‘
и для подынтегральной функции в интеграле 1(E) получаем Re J i cos(7r — x)

= JCOS2(7Г — x) + E2 sign(cos(7r — x))j Vc°sv
'1- £
— JCOS2 X + E2 sign(cOS X) Y Vcostx+E' _ _ Re y'j COg x
Таким образом,

1(E) — j Re V'i cosx

= J Re %/i cos x — E dx + J
cosx — Edx + / ReVicosx

= J Re Vi cos x — E dx — J Re fi cos(7r — у) — E dy

= J ReVicosx- Edx + J Кел/icosy

= 0,
и утверждение полностью доказано. □