Двойственная геометрия сетей и тканей на подмногообразиях в пространствах с проективной структурой

• Автор: Кондратьева, Надежда Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Чебоксары
• Количество страниц: 125 с.

1. Исторический обзор
2. Общая характеристика диссертации
1. Постановка вопроса и актуальность темы
2. Цели и задачи работы
3. Методы исследования
4. Научная новизна
5. Теоретическая и практическая ценность результатов
6. Апробация и внедрение результатов
7. Публикации
8. Вклад автора в разработку избранных проблем
9. Структура и объем работы
10. Некоторые замечания
3. Содержание диссертации
Глава I. ДВОЙСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ МНОГОМЕРНЫХ СЕТЕЙ В ПРОСТРАНСТВАХ С ПРОЕКТИВНОЙ СТРУКТУРОЙ
§1. Нормализованное проективное пространство Рп
§2. Двойственные аффинные связности в нормализованном
пространстве Рп
§3. Приложения двойственных аффинных связностей к изучению плоских сетей Ев Рп
1. Дифференциальные уравнения сети Е и инвариантные геометрические образы, порождаемые ею
2. Чебышевские и геодезические сети первого и второго рода
3. Двойственный образ сети Е в Рп
§4. Нормализация проективного пространства Рп, определяемая сетью
1. Взаимногармоническая нормализация пространства Рп
2. Нормализация проективного пространства Рп, гармоничная
сети Е
§5. Приложения нормализации проективно-метрического пространства Кп к изучению плоских сетей Е
1. Полярная нормализация пространства Кп
2. Сеть Е сА"п, сопряженная относительно поля конусов направлений а5Т0)ц а>1
3. Чебышевские и геодезические сети в пространстве Кп

Глава II. ДВОЙСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ СЕТЕЙ НА МНОГОМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
§1. Внутренняя геометрия сопряженных сетей £ на гиперповерхности в проективном пространстве Рп
1. Двойственные аффинные связности на гиперповерхности
УлЧ в пространстве Рп
2. Дифференциальные уравнения сети £ и некоторые ее геометрические образы
3. Чебышевские и геодезические сопряженные сети первого и второго рода
4. Сеть главных линий на гиперповерхности Уп_, в проективном пространстве Рп
5. Голономная сопряженная сеть £ на гиперповерхности Уя_, в
пространстве Рп
§2. Сети и аффинные связности на многомерной поверхности Ут в проективном пространстве Рп
1. Гиперполоса Нт, ассоциированная с поверхностью Ут
2. Двойственный образ регулярной гиперполосы Нт
3. Двойственные аффинные связности на нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна поверхности Ут
4. Поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик
5. Внутренняя геометрия некоторых классов сетей £ на поверхности Ут в пространстве Рп
§3. Двойственная геометрия сетей £ на невырожденном абсолюте в проективно-метрическом пространстве Кп
1. Двойственный образ абсолюта <2^ проективнометрического пространства Кп
2. Сопряженная сеть £ на абсолюте в пространстве Кп
3. Поля гармонических прямых дя и гиперпрямых д,0 сопряженной сети £
4. Инвариантные оснащения абсолюта 0я_, в Кп
5. Связности, индуцируемые нормализацией абсолюта
сл;, <=
6. Сеть главных линий на абсолюте (2Я_, в Кп

Глава III. ДВОЙСТВЕННЫЕ СВЯЗНОСТИ И ТКАНИ НА ОСНАЩЕННОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГИПЕРПЛСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В Кп
§1. Распределение гиперплоскостных элементов в Кп и его
двойственный образ
§2. Инвариантное оснащение распределения гиперплоскостных
элементов М в смысле Э. Картана
§3. Инвариантное оснащение распределения гиперплоскостных
элементов М в смысле А. П. Нордена
§4. Двойственная геометрия сопряженных тканей на распределении гиперплоскостных элементов М
ЛИТЕРАТУРА

то она является «-сопряженной системой в смысле Р. В. Смирнова [99]. Эта система имеет следующую геометрическую характеристику:
1) все псевдофокусы р/ на касательных к линиям сети £ являются фокусами, то есть с1Р,к - 0, Д, + 02 Д (той со^ = О},Ьф к), I Ф К ;
2) каждая касательная ДД к /-ой линии сети £ при смещении точки Д вдоль любой другой ее линии со* (К Ф I) описывает двумерную развертывающуюся поверхность, ребро возврата которой описывается фокуТ'' К
сом г,
Таким образом, доказана
Теорема 1.14. Сопряженная относительно поля конусов направлений а ЗТ СОІ=0 сеть £с:Кп при п> 2 голономна тогда и только тогда, когда она является п-сопряженной системой в смысле Р. В. Смирнова.
Достаточность условия теоремы непосредственно следует из равенств (1.140), (1.142).
Замечание. При п = 2 любая плоская сеть £2 с К2 (необязательно сопряженная относительно поля тензора а1К) голономна.
Согласно [99] «-сопряженная система £ в проективном пространстве Рп существует с произволом п(п -1) функций двух аргументов. Справедлива
Теорема 1.15. Сопряженная относительно поля конусов направлений аЗТ <У0 0)^ =0 п-сопряженная система £ с Кп при п> 2 существует с про-п(«-1)
изволом — ■— функции двух аргументов.
Действительно, рассматриваемый геометрический образ в проективно-метрическом пространстве Кл в силу (1.129), (1.142) определяется системой дифференциальных уравнений
со'к =а'к,со1> +а'кксо* ,ІФК, (1-143)
в которой компоненты а'к1,а'кк подчиняются соотношениям (1.136).
Замыкая уравнения (1.143), с использованием (1.99) получаем
Аа'К1 + Аа‘ккй$ =0, 1 Ф К (1.144)

АаК1 =йаК1 +аи| Ево^о |~ +
Vе > (1.145)
+ аК! ^ аТіЩ) ~ ^ аБ1аК5а>0 >
ТФІ Б*!,К
Аакк =<^акк '1гакк ЕсоЩ ~2&>к | +
Vе ) (1.146)
+ акк £ авкЩ + ^■аКк[а55(Ц) ^ авіЩ> іі.К