О биокомпактификациях непрерывных отображений

• Автор: Норин, Владимир Павлович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 c. : ил

Непрерывные отображения топологических пространств можно естественным образом рассматривать как обобщение понятия топологического пространства, отождествляя топологическое пространство X с постоянным отображением С *• X { *} /либо с отображением LdL : X X /. Естественно при этом предполагать, что многие понятия и результаты, определенные и верные в классе топологических пространств, также будут иметь аналоги в классе непрерывных отображений. И действительно, на класс непрерывных отображений были распространены аксиомы отделимости [103 , определено понятие базы,отображения Но] /следовательно, появилась возможность задания топологии на отображении/, веса отображения [10] ; различным образом определялась также размерность отображения /см., например, ШД91/И Т.Д.
В классе топологических пространств особое место занимают бикомпактные пространства, обладающие многими "хорошими" свойствами и потому давно активно изучаемые. В то же время существует класс непрерывных отображений, называемых совершенными, которые выполняют во многих случаях роль бикомпактов в классе непрерывных отображений. Не случайно поэтому такие отображения первоначально были названы /впервые, по-видимому, й.А.Вайнштейном [33, [43 / бикомпактными. Естественно в связи с этим возникает задача бикомпактификации произвольного /хаусдорфова Е отделимого/ непрерывного отображения i:X-Y , то есть построения такого /хаусдорфова/ непрерывного бикомпактного отображения что b})x=t и[ХЗьх=Ь^Х . Видимо, впервые понятие бикомпактификации отображения было введено ом [19] ; он же первым и исследовал проблему бикомпактификации отображения. В даль-

нейшем этим вопросом занимались различные авторы, в том числе:

(*. Caln £l?l, D-81^ Н.Кролевец £61 , В.М.Ульянов £151 5 Б.А.Пасынков £101 и другие. В частности, было доказано существование у произвольного тихоновского отображения тихоновской би-компактификации £101 . В этой связи представляется интересной задача описания всех бикомпактификаций произвольного отображения. Эта задача является обобщением старой задачи П.С.Александрова описания всех бикомпактификаций произвольного тихоновского пространства, которая была успешно решена в 1952 году Ю.М.Смирновым . Решению этой задачи способствовало введение в 1951 году В.А.Ефремовичем
£51
понятия близости, при помощи которого было установлено взаимно однозначное соответствие между всеми биком-пактификациями пространства X и всеми близостями на X, согласованными с данной на нем топологией. Таким образом, понятие близости органически вписалось в общее "здание" топологии и дало возможность по-новому взглянуть на некоторые вопросы.

В случае отображений естественно идти аналогичным путем.

В первой главе диссертации следующим образом вводится понятие близости для отображений - юг-близости /mapplw^-близости/:

Определение I. Пусть -отображение множества X в

пространство Y . Будем говорить, что назадана YYI-близость, если определено отображение , удовлетворяющее следующим аксиомам:
1. 5j(A,B)=i =Ф §j(B,A) = £
2. Ви С) = 1 4=> 5^(А, Ь) - 1 Ä §£(А,С) - 1
3. Если , то б|( {xj , (xj)= D О = х2
4. 5$ (X , Л) = 1.
5. 5^ (А, В) =1 =Ф- для каждой точки найдутся открытая окрестность 0i£ и множества C,D = rO* такие, что

СиЭ=ГСк) , ^(АлГ‘0у,С)= 1 , ^(ВоГ0^,В) = 1.
6. Если существует открытое покрытие 6Э = {О,*} пространства У такое, что Оу. , В/л£ 0|^)-1 для каждого 0Л 6 СО ,
то §£ (А, Ь) =1.
Это понятие является обобщением понятия близости в смысле Ефремовича, а в случае, когда У одноточечно, оно в точности совпадает с обычной близостью. Аксиомы I - 5 в определении I суть полные аналоги соответствующих аксиом близости для пространств, а аксиома 6 является необходимой новой аксиомой, отражающей

большую общность рассматриваемой ситуации.
Любая йо.-близость 5^ порождает на X топологию следующим образом: ОбТг , если любая точка Хб 0 т,-далека от

X 4 0 • В этой топологии отображение у непрерывно, более того,
оно будет также регулярным. Топология Тг является Т. -топологи-

ей, индуцирующей на каждом слое тихоновскую топологию. В случае, когда У хаусдорфово /регулярно/, Т^- - хаусдорфова /регулярная/ топология.
Для бикомпактного отображения £:Х~*У регулярных пространств существует единственная УП-близость §*£ , согласованная с топологией пространства X /следствия За и 36/. Эта т.-близость определяется так: Небезынтересно напомнить, что точно таким же соотношением определяется единственная близость на бикомпакте. Единственность указанной т-близости на пространстве X можно доказать /следствие 36/ без предположения регулярности пространств X и У , потребовав лишь хаусдорфовость пространства У и отображения £ . Пока не ясно, как в предположениях лишь хаусдорфовости У и £ доказать существование этой единственной №-близости.
Если пространство X является тихоновским, то помимо т.-бли-

Глава
Также как и в главе I все пространства - топологические -пространства и отображения пространств непрерывны.
Определение I. Пусть - отображение пространств.
Будем говорить, что на X задана 0 -!П-близость, если задано
X о X
отображение 9| : 2 * 2 —> {0,1}, удовлетворяющее аксиомам:
1. Щ(А,В)=1 Д(В,А>1.
2. 0^ ( А , и Ьр = 1 4=^ 0р А 3 Вр = 1 , I = 4-, 2.
3. Щ(х> х)
4. ВДХ,А) = 1 .
5. 01 (А, В) = 1 =?> для каждой точки У найдутся открытая окрестность Оу и канонически открытое в X множество С , такие, что С с | Ч0(^ ■=> А п £ 10^ ,
6{(СлГ40ч ,ВпГ10^)=1, еДАпГ‘0^ , [С])=1.
6. Если существует открытое покрытие 66 = {Од} пространства У такое, что для каждого 0^6 Ы выполнено условие
0^.(Ап£ , В п £"А 0Л) = 1 , то 0| (А, В) = 1 .
7. 0£ (х, А) = 0 => х е [ А1.
Непосредственно из определения I вытекают Свойства 0 -Рг-близости:
1. Если АпВ^А,то 0£(А,ВО = 0 .
2. Если Ас В и 0^ ( В, С) = 1 , то 0^ (А , С)
3. 0^ (А , А ) - 1 для любого АсХ .
Лемма I. Если АсХ и хе[Д], то 0^ ( X , А) = О Доказательство. Пусть Хб[А1 и 0^Сх,А)=1. Тогда по аксиоме 5 определения I для точки 1^ = £рс. существуют открытая окрест-ность 0^ и множество С - 0п1[С] такие, что С п •$ ЭХ и
м СлГЧ)у , АбГ^)= ± . /I/