Геометрия некоммутативных главных расслоений

• Автор: Шарыгин, Георгий Игорьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с.

Предисловие
1. Актуальность темы
Главной задачей диссертации является разработать возможно более полную теорию характеристических классов алгебр, на которых подействует та или иная квантовая группа, или, более общо, алгебра Хопфа.
С формальной точки зрения такие объекты аналогичны, точнее, двойственны, пространствам, на которых действует группа Ли. В самом деле, если рассмотреть алгебры функций на пространстве и на группе, то отображение, двойственное умножению на элементы группы, определит обратный гомоморфизм на указанных алгебрах, удовлетворяющий (при некоторых не слишком ограничительных предположениях) всем условиям, задающим кодействие. Преимущество такого чисто алгебраического подхода состоит в возможности рассматривать не только коммутативные алгебры, тем самым значительно расширяя область применимости теории. Конечно, полученным таким образом результатам нельзя дать непосредственной геометрической интерпретации, однако в последнее время и, прежде всего, в рамках так называемой некоммутативной геометрии появились многочисленные примеры некоммутативных алгебр, тесно связанных с геометрическими объектами, изучение которых приносит значи-тельую информацию о самом объекте. Прежде всего речь идёт о С* -алгебре слоения. Кроме того, можно рассматривать окрещённые произведения алгебр функций на многообразиях и групповых алгебр дискретных групп, изучение которых, несомненно, даёт достаточно информации о действии группы. Далее, теория групп и алгебр Ли поставляет два класса естествеено возникающих некоммутативных алгебр: универсальные обёртывающие алгебры алгебр Ли и алгебры функций относительно свёртки. Другие обширные классы примеров некоммутативных алгебр приходят из теории деформационного квантования, квантовой механики и квантовой теории поля. Все эти и другие примеры некоммутативных алгебр дают широкое поле для применения идей и методов некоммутативной геометрии, одним из разделов которой является теория некоммутативных главных расслоений.
Термин «некоммутативная геометрия» был предложен в начале 1980-х годов французским математиком А.Конном, [21], в связи с его исследованиями по теории слоений. Хотя некоммутативные алгебры, в частности С*-алгебра слоения, не могут быть отождествлены с алгебрами функций ни на каком топологическом пространстве, но оказалось чрезвычайно полезным рассматривать их в таком качестве и по мере возможностей применять к ним те же конструкции, которые имеются в обычной дифференциальной геометрии. На этом пути были получены многочисленные результаты, прежде всего в теории характеристических классов (см. [21, 22, 19, 18]). Оказалось, что конструкция Чженя-Вейля, позволяющая строить характеристические классы векторных расслоений над гладкими многообразиями, почти дословно переносится на случай конечно-порождённых проективных модулей над произвольными ассоциативными унитальными алгебрами. С другой стороны, известно, что в классическом случае характеристические классы векторных расслоений являются частным случаем характеристических классов соответствующего главного расслоения. Поэтому естественным желанием исследователей было построить аналогичную конструкцию и в некоммутативном случае.
Прежде всего, необходимо найти замену структурной группы некоммутативного главного расслоения. Ясно, что «некоммутативными аналогами» групп Ли являтся алгебры Хопфа. Однако, произвольная алгебра Хопфа — слишком общий объект для

этих целей. Достаточно богатый класс алгебр Хопфа, обладакяцх многими свойствами алгебр функций на группах Ли, был обнаружен в середине 80-х годов. Речь идёт о квантовых группах, появившихся одновременно в работах нескольких математиков, см. например [13, 2].
В течение 90-х годов было предпринято несколько попыток создать на основе теории квантовых групп разумную теорию некоммутативных (квантовых) главных расслоений и изучить геометрию с «квантовой структурной группой». К числу таких работ относятся, например [20, 17]. Наиболее последовательная и развитая теория была создана югославским математиком Джорджевичем (Бигйеук). Не вдаваясь в подробности его определений, аккуратно изложенных в тексте диссертации, см. Главу 1, скажем, что одной из главных трудностей было дать правильную алгебраическую интерпретацию свободного действия группы. Тем интереснее кажется факт, что это условие оказывается слегка ослабленным определением «расширения Галуа-Хопфа», объекта давно изучавшегося в алгебре. Именно работы Джорджевича и послужили отпраной точкой данной диссертации.
2. Содержание диссертации
Первая глава
В этой главе мы даём определения и обсуждаем основные свойства квантовых групп и квантовых главных расслоений. В главе практически нет утверждений и теорем, полученных автором диссертации, за исключением конструкции обобщённого гомоморфизма Вейля для случая немультипликативной регулярной связности, являющейся, ло-существу, небольшим уточнением соответствующего результата для мультипликативных связностей, принадлежащего Джорджевичу. Кроме того, автору принадлежит конструкция замены структурной группы при помощи гомоморфизма.
Первый параграф посвящён теории квантовых групп. Основными источниками нам служат работы Вороновича [1]-[4]. Следует указать, что определения и результаты, которыми мы пользуемся, основаны на интерпретации квантовых групп, как некоммутативных алгебр функций на «квантовом пространстве», а не как деформированных универсальных обёртывающих алгебр, каковое описание принято в большинстве работ, посвящённых вопросу. То, что эти два подхода эквивалентны, следует, например, из основополагающей работы [13]. Содержание этого параграфа естественно разбивается на три части. Во-первых, мы даём определение (Определение 1.1) и описываем основные свойства квантовых групп, в частности мы вводим понятие классической части квантовой группы (см. Определение 1.2). Далее, мы, следуя работам [1] и [3] описываем свойства «дифференциальных исчислении» на квантовых группах. Конец первого параграфа посвящён основам теории представлений квантовых групп в смысле Вороновича (см. [2]). Не претендуя на полноту изложения, мы ограничиваемся фактами, которые нам потребуются позднее для работы с главными расслоениями. Теоремы 1.1 и 1.3 являются сводками результатов работ [3] и [2, 4] соответственно.
В следующих четырёх параграфах мы последовательно излагаем теорию квантовых главных расслоений, связностей на них и характеристических классов, при этом мы опираемся на работы Джорджевича [5]-[9]. Некоторые другие подходы к теории квантовых главных расслоений и вообще некоммутативной дифференциальной геометрии с квантовыми структурными группами можно найти также в работах [20, 17].
Во втором параграфе даётся определение квантового главного расслоения по Джорджевичу (Определение 1.3), обсуждается его геометрический смысл, в частности указывается на связь этих объектов с расширениями Галуа-Хопфа. В конце параграфа

приводятся примеры некоммутативных (квантовых) главных расслоений. В качестве одного из способов построения квантовых главных расслоений рассматривается принадлежащая автору конструкция замены структурной группы (см. пример 1.2.5 и предложение 1.4).
Третий параграф посвящён теории дифференциального исчисления на некоммутативных главных расслоениях. В начале параграфа даётся определение дифференциального исчисления на тотальном пространстве расслоения, согласованного с исчислением Г на структурной группе (Определение 1.4) и приводится пример, доказывающий существование таких объектов. Далее мы определяем алгебру дифференциальных форм на базе расслоения, 0(Л4), алгебру горизонтальных дифференциальных форм, ()Ог(Р), алгебру разложимых дифференциальных форм о!)(Р) (при этом мы показываем, что два возможных способа определить её — эквивалентны, Предложение 1.5).
В четвёртом параграфе излагаются основные результаты работы Джорджевича [6]. Именно, дав вслед за этим автором определение псевдотензориальных, тензориаль-ных форм и связностей на некоммутативном главном расслоении (Определение 1.5), мы формулируем без доказательства теорему о существовании связностей (Теорема 1.6). Далее мы определяем мультипликативные связности (условие 1.30) и отображение ти : о(|(-Р) -* ГДР). Затем мы приводим без доказательства ещё одно техническое утверждение, принадлежащее Джорджевичу, Теор. 1.7.
Вслед за этим, при помощи отображения определятся горизонтальное проектирование (формула 1.31), и ковариантное дифференцирование (Определение 1.6). Теорема 1.8, принадлежащая Джорджевичу, содержит список свойств ковариантного дифференцирования, построеннного по произвольной связности.
Совершенно аналогично случаю обычного главного расслоения, мы определяем кривизну Яш связности Опр. 1.7. Список свойств форм кривизны общих связностей на некоммутативном главном расслоении содержится в Теореме 1.9. Её, как и предыдущую теорему мы приводим без доказательства.
Чтобы обойти трудности, связанные с немультипликативностыо связности, мы вводим ’’накрывающее отображение” Яш : кеге —> 1)0т(Р) и доказываем, что квадрат ковариантного дифференцирования равен умножению на форму, определяемую при помощи этого отображения (Предложение 1.10). Это отображение не рассматривалось Джорд-жевичем явно, однако, все доказательства свойств формы кривизны основывались, по существу, на рассмотрении этого отображения.
Следующее определение, Опр. 1.8, является ключевым для всего нижеследующего изложения. Именно, в нём мы выделяем важнейший для нас класс связностей — регулярные связности. На идейном уровне, связность называется регулярной, если она фиксированным образом коммутирует с горизонтальными формами на расслоении (см. формулы (1.39) и (1.39')). Существование этого требования, как нетривиального условия — чисто квантовый феномен, не существующий в обычном случае. Понятие регулярной связности введено Джорджевичем, им же исследованы свойства регулярных связностей, а так же горизонталной проекции, ковариантного дифференцирования и формы кривизны, определяемых регулярной связностью. Список этих свойств, без доказательств, которые, будучи чисто техническими, заняли бы весьма много места, мы приводим в виде теоремы (Теорема 1.11). При этом, мы переформулируем некоторые из свойств в терминах отображения (свойства (ш) и (ш)). Грубо говоря, регулярные связности — естественно выделяемый класс связностей, по своим свойствам максимально напоминающих обычные связности на главных расслоениях. Именно эти свойства и позволяют использовать их при построении гомоморфизма Вейля. Именно, оказывается, что очевидная перефразировка классической конструкции Чженя-Вейля

Заметим, что из свойств (т) и (и) следует, что формулы
(ж,у)+ = (ж,1Цу))+,
(х,у)~ = {\и{у),х)~
задают на £и Э х, у невырожденные полуторалинейные спаривания (как левого и правого М-модуля соответственно). Кроме того, если элементы /ік Є £йі Ч £ £и таковы, что
7(1)

то выполняется равенство
53 Ме*Н(еі) = % ! (і-46)

В самом деле, из определений и сделанных отождествлений следует, что 53 А**(ЄіН(Єі) = (53 1Лк ® (е* ® Є;)
А: к
= ('Т* (!))(< ® еі) = Ы(е* ® е)) 1 = е*(ф) 1 = <% 1.
Теперь мы можем доказать последнее утверждение Предложения 1.4: квантовая группа А' свободно действует на пространстве В Од А.
Доказательство. Как известно (см. §1.1) любая квантовая группа А!, как векторное пространство распадается в прямую сумму подпространств На> порождённых матричными элементами 1
ставлений а' Є V группы А! При этом, все такие элементы линейно независимы. Заметим, что в силу формулы
Ф'(иі'з’)
пространство На' является би-комодулем над А!.
Пусть На’ — пространство представления а', и е;/, і = 1
Аа'(еі’) = 53 е*' ® к'
Очевидно, что формула
0/Д(е) 53«,*, ®
задаёт на пространстве 1їа/ структуру левого А!— комодуля. Этот комо дуль мы будем обозначать Н,. Следующее утверждение—очевидно.
Лемма 1.15. Йа' = Н,®Наі как би-комодулъ над А!. Изоморфизм задаётся формулой
Єі’ ® ер и
Пусть / : Л' —> Д — гомоморфизм квантовых групп. Формулы
Аа<Ы = 53 е*' ® /(«£'<>).

а, Дд(е,-.) = 53 /(“,“*') ® е*'