Проективная геометрия на алгебраических многообразиях

• Автор: Шпиз, Григорий Борисович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 94 c. : ил

ГЛАВА I. Двойные отношения на алгебраических многообразиях

§ I. Определения, обозначения, соглашения

§ 2. Двойные отношения, связанные с полилинейными

формами

§ 3. Двойные отношения на параболических пространствах

§ 4. Модели компактных групп Ли, связанные с обобщенно-йордановыыи операциями первого и второго порядка

§ 5. Классификация неприводимых локально транзитивных групп Ли

ГЛАВА 2. Преобразования, допускающие отделимый рациональный инвариант

§ I. Основные определения, соглашения, леммы

§ 2. Отображения с замкнутым графиком

§ 3. Отображения, допускающие отделимый рациональный инвариант

§ 4. Теоремы продолжения
§ 5. Параметризация групп вида Аи|у)
ГЛАВА 3. Свободные семейства подмногообразий
§ I. Вспомогательные конструкции и леммы
§ 2. Автоморфизмы свободных семейств подмногообразий

ГЛАВА 4. Проективная геометрия на параболических
пространствах
§ І. £) - структура на параболических пространствах
§ 2. Плоские геометрии на некоторых параболических
пространствах
ЛИТЕРАТУРА

С позиций эрлангенской программы Клейна первостепенный интерес представляет построение содержательных геометрических объектов с заданной группой автоморфизмов. Классическая геометрия дает ряд известных примеров. Так группа проективных преобразований проективной прямой является группой автоморвизмов двойного отношения, движения евклидова пространства являются автоморфизмами его метрики, проективные преобразования плоскости - автоморфизмы плоской проективной геометрии, то есть структуры, заданной на плоскости семейством прямых и т.д. В связи с изучением различных групп преобразований, в частности, при построении моделей особых простых групп Ли различными авторами изучались многочисленные аналоги классических геометрических объектов.
Так в работах £3,8, 9*13, 15^7 , 30-32] изучались обобщения двойных отношений на однородные пространства с параболическими стационарными подгруппами, а в работах [ 7,21*23,25,27,28] , посвященных, в основном, построению проективных пространств над алгебрами, изучались различные аналоги плоской проективной геометрии.
Таким образом накоплен большой запас конкретных примеров разного рода инвариантных геометрических объектов для ряда конкретных групп преобразований, причем применяемые в этих примерах конструкции объектов и методы их исследования весьма различны даже для однотипных объектов. Поэтому возникает необходимость получения общих конструкций возможно более обозримых инвариантных объектов того или иного рода на интересных классах пространств5^, а также разработка методов, позволяющих исследовать автох) Под пространством в настоящей работе понимается гладкое многообразие, снабженное группой Ли преобразований.

поскольку предложение I применит и к ограничению на многообразие Z . Полученное противоречие завершает доказательство.
ТЕОРЕМА 3. (см.[19] ). Если м - гладкое неприводимое многообразие, то отображение fr' М 1*1 регулярно тогда и
только тогда, когда его график замкнут в М * М и неприводим.
доказательство. Необходимость очевтдна. Докажем достаточность. Применяя теорему 3 к проекции : Г ^—* М , получим, что регулярно на i4! , откуда немедленно вытекает
требуемая регулярность отображения ^ . Теорема доказана.
Если в условиях предыдущей теоремы, м - проективно, то неприводимость Г^, автоматически следует из его замкнутости.
В самом деле, пусть rt-nurz, где - замкнуты в Г . Из замкнутости Гу в М * М. вытекает, что Г! и
П L' К А к у* / v
lz замкнуты в J1 * П. Из проективности М как известно, вытекает замкнутость проекции 5Г: М*Г1-> м. Откуда получаем, что ( Г) и %z( Г) замкнуты в М. Так как 9С взаимно однозначно на , то 9^(Г1)^%(Г1)[^(Гг) ^ 9^( Гг) и полученное разложение И = 5Г( П)и Sl С Гг) противоречит неприводимости М. . Итак доказана
ТЕОРЕМА 4. Отображение гладкого неприводимого многообразия в проективное многообразие регулярно тогда и только тогда, когда его график замкнут.
Отметим, что, как показывает следующий пример, одна только замкнутость графика без неприводимости не обеспечивает регулярности отображения.
ПРИМЕР. Отображение прямой в себя, определенное формулой
Их) = ( » , ос. ф о
0 I О , .х