Полные римановы метрики с группой голономии G2 на разрешениях конуса над S3 х S3

• Автор: Богоявленская, Ольга Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 59 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Определения
1.1 Группа голономии
1.2 С2-структура на многообразии
2 (^-структура на конусе над Б3 х 53
2.1 Семейство новых решений
2.2 Начальные условия
3 Метрики на 53 х М4 с группой голономии Є2
4 Метрики на 53 х Н4 с группой голономии (32
Введение
Диссертация посвящена построению и исследованию метрик со специальной группой ГОЛОНОМИИ С?2.
Группа голономии - это инвариант риманова многообразия, несущий информацию о глобальных свойствах геометрии данного многообразия. Понятие группы голономии было введено Э.Картаном [6, 7, 8] и, кратко, заключается в следующем: фиксировав точку многообразия размерности п и рассмотрев всевозможные петли, начинающиеся и заканчивающиеся в выбранной точке, можно получить группу, состоящую из всех параллельных переносов вдоль таких петель - это и есть группа голономии, по своему определению лежащая в 0(п). Первые примеры специальных групп голономии связаны с понятием симметрического пространства, также изучавшегося Э.Картаном. Оказалось, что для симметрического пространства группа голономии совпадает с группой изотропии фиксированной точки, рассмотренной относительно группы трансвекций. В дальнейшем, Борель и Лихне-рович [2] показали, что для односвязного многообразия (или для любого многообразия, но при рассмотрении лишь стягиваемых петель) группа голономии является подгруппой Ли в ортогональной группе. Случай неодносвязного пространства оказался сложнее: как показал Вилкинг [20], группа голономии неодносвязного риманова многообразия может не быть замкнутой подгруппой Ли в 0(п). Теорема де Рама [19] подчеркнула глобальный характер понятия голономии: оказалось,
что если группа голономии (вместе со своим представлением на касательном пространстве в фиксированной точке) раскладывается в прямое произведение (т.е. приводима), то само многообразие распадается в соответствующее прямое произведение римановых многообразий.
Следующий крупный шаг в понимании структуры групп голономии был сделан Берже [1]. В предположении, что риманово односвязное многообразие неприводимо и не является симметрическим, он доказал, что группа голономии принадлежит списку кандидатов, конечному в каждой фиксированной размерности. Доказательство Берже было алгебраическим и не позволяло ответить вопрос, существует ли риманово многообразие с данной группой голономии из списка. Возникла задача реализации групп голономии из списка Берже, которая постепенно была решена положительно для всех кандидатов.
Для нас особый интерес представляет группа голономии G2- Вместе с группой Spin(7) для нее не было примеров реализации римано-вым многообразием вплоть до 1987 года, когда Брайант и Саламон [5] построили первое (некомпактное и даже не полное) риманово многообразие с группой голономии G2 и Spin(7). В 1989 они же построили первый пример полного пространства с данными группами голономии. Построение компактного пространства оказалось трудной задачей, и было сделано лишь Джойсом [15, 16] в 1996 году. После Джойса Ковалев [18] в 2003 году предложил новую конструкцию, которая привела к построению компактного риманова многообразия с группой голономии

Для объяснения мотивации данной диссертации, схематично опишем конструкции Джойса и Ковалева. Джойс рассмотрел специальное действие дискретной группы на плоском торе размерности 7, особенности факторпространства рассмотренного действия имеют окрестности, изометричные Т4 х С21Ъ2. Произведя хирургию Джойс при-

щим образом. В окрестности точки 5о рассмотрим локальные координаты (аь а2,а3 - и шар В = {(аьа2,а3 - ^)а + а2 + (аз ~ -^)2 < е2} радиуса е. Его пересечение с плоскостью а3 = это круг С/ = {(«1, «2)1 Ег2=1 < £2} радиуса е.
В и введем геодезическую систему координат, т.е. рассмотрим две координаты: радиальную — е < г < е и тангенциальную в € Р1, где Р1 = {((«1, а2)| 5^2=1 аг = !}• Таким образом («1,02) = гв. Теперь рассмотрим произведение {—£,£) х Р1 и действие группы й2 на нем:
(г, в) ( г, 5).
Ясно, что действие свободно и мы получаем фактор пространство V — (—£,£) х 51/й2, представляющее собой лист Мебиуса. Сопоставление
±(г, в) I—> гв
определяет гладкое отображение П —» [/, которое, очевидно, является диффеоморфизмом иР —> и3о, где Р = {(г, я)|г = 0} — вложенная в 0 проективная прямая.
Удалим точку Ро из окрестности С/ и приклеим и по построенному выше диффеоморфизму. Говорят, что полученное многообразие получено из Р3 раздутием в точке Ро.
Обозначим через 5 сферу Р3, раздутую в точке Ро (заметим, что >5 можно представить, как связную сумму сферы Р3 и вещественного проективного пространства КР3). Нам потребуются локальные координаты в окрестности Р. Рассмотрим [Д = {±(г, й)|аг ф 0}, г — 1,2. Положим в окрестности иг
г г а] • / •
а; = аг, а) = — для г ф 3.

Мы, тем самым определили локальные координаты а,а на Р в окрестности Рг, г = 1,2. Дополним V до трехмерной окрестности точки Ро, положив а = а3, г = 1, 2.