Тэта-функции на косых произведениях двумерных торов

• Автор: Егоров, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 66 с.

Оглавление
1 Введение

1.1 Постановка задачи

1.2 Симплектические и кэлеровы многообразия

1.3 Классическая тэта-функция

1.4 Общие результаты о вложении в комплексное проективное пространство

1.5 Ниль- и солвмногообразия

1.6 Косые произведения двумерных торов

1.7 План работы

2 Тэта-функции на многообразии Кодаиры-Терстона

2.1 Свойства классической тэта-функции

2.2 Тэта-функции многообразия Кодаиры-Терстона
2.2.1 Тэта-функция — сечение линейного комплексного расслоения
2.2.2 Мультипликативное свойство дкт
2.3 Вложение МКт в комплексное проективное пространство
2.4 Вложение является симплектическим отображением
3 Тэта-функции на косых произведениях двумерных торов
с нулевым классом Эйлера
3.1 Расслоения
3.2 Тэта-функции на расслоениях
3.2.1 дм — сечение линейного комплексного расслоения
3.2.2 Мультипликативное свойство дм
3.3 Вложение в комплексное проективное пространство
3.4 Вложение является симплектическим отображением
3.5 Связь с другими обобщениями тэта-функций

Глава
Введение
1.1 Постановка задачи
В диссертации рассматривается важная и интересная задача симплектической геометрии — построение канонических симплектических вложений замкнутых многообразий с целочисленной симплектической формой в комплексное проективное пространство. Отображения вложения при этом строятся при помощи обобщенных тэта-функций.
Как известно, классическая тэта-функция абелева многообразия, с геометрической точки зрения, является сечением голоморфного линейного расслоения над комплексным тором. Классическая теорема Лефшеца утверждает, что сечения достаточно большой тензорной степени этого расслоения задают комплексно-аналитическое вложение абелева многообразия в некоторое комплексное проективное пространство.

Зададимся целью обобщить данную конструкцию на некоторые расслоения, где слой и база — одномерные комплексные торы. Мы вводим аналоги классических тэта-функций как сечения линейных комплексных расслоений над данными расслоениями. Нам однако придется отказаться от голоморфности вложения, так как на данных расслоениях, вообще говоря, нет не только кэлеровой структуры, но и комплексной. Тем не менее, данные многообразия являются симплектичсскими. Мы будем строить тэта-функции так, чтобы для них выполнялся спмплектнческий аналог теоремы Лефшеца — тэта-фуикцнп с характеристиками, которые являются сечениями тензорной степени данного линейного расслоения, задают симплектическое вложение многообразия в СРЬ (для достаточно больших тензорных степеней). Симплектическое вложение означает, что вкладываемое многообразие наследует симплекгическую структуру комплексного проективного пространства.
Автор благодарит Искандера Асановпча Тайманова за постановку задачи и терпение. Автор также благодарит Андрея Евгеньевича Миронова за полезные обсуждения.
1.2 Симплектические и кэлеровы
многообразия
Гладкое многообразие М размерности 2п называется симплектическим, если на нем существует невырожденная дифференциальная 2-форма со, являющаяся замкнутой {(ко = 0). Условие невырожденности можно

Вычисляя первый класс Чжэня на базисных 2-циклах, получим:
сг([Тт}) = С1([7м]) = 1; 0!([Г«*]) = С1{[Таа}) = 0. (2.26)
Так как многообразие Мкт является однородным пространством нильпотентной группы Ли, то любой элемент из Н2(Мктреализуется левоинвариантными формами двойственными к базисным 2-циклам. Группа Н2(Л4кТ;Ш) порождается классами когомологий форм {йг — Ххйу) А Их, с1у А <й, (сЬ — Ххйу) А йу и <1х А Л.
Из (2.26) следует, что С{Ь) = — Ххйу) А (1х + с1у А Ш,}. Теорема
доказана.