Дифференциальная геометрия пространства почти комплексных структур

• Автор: Даурцева, Наталия Александровна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Кемерово
• Количество страниц: 106 с.

Глава 1. Основные сведения

1.1. Основные обозначения

1.2. Определение почти эрмитового многообразия

1.3. Ассоциированные почти комплексные структуры и метрики

1.4. Интегрируемость почти комплексных структур

1.5. Однородные пространства

1.6. Пространства почти комплексных структур

1.7. Существование почти комплексных структур

1.8. Почти комплексные структуры на сферах

1.9. Шестнадцать классов почти эрмитовых многообразий

1.10. Многообразия Фреше

1.11. 1ЬН-многообразия
1.12. Римановы субмерсии
Глава 2. Пространство почти комплексных структур
2.1. Параметризация Л
2.2. Псевдориманова структура на Л
2.3. Подмногообразие положительно ассоциированных
почти комплексных структур Л+
2.4. Подмногообразие ортогональных
почти комплексных структур ••'<
2.5. Свойства Л+, Л+, ЛО^о
2.6. Расслоение Л+
2.7. Расслоение пространства инвариантных
почти комплексных структур на однородном пространстве . . .
Глава 3. Почти комплексные структуры на 51/(2) х 517(2)
3.1. Интегрируемые левоинвариантные почти
комплексные структуры на 517(2) х 517(2)
3.2. Классы почти эрмитовых структур на 517(2) х 517(2)

3.3. Функционал нормы тензор Нейенхейса
Глава 4. Инвариантные почти комплексные структуры на 52п+1 х 52р+І
4.1. Почти комплексные структуры на 53 х 52п+1
4.2. и(п + 1) х 11(р+ 1)-инвариангные почти
комплексные структуры на 52п+1 х 52р+1
4.3. Класс однородных комплексных многообразий
(52п+1 х 52р+1Л,с)
4.4. Кривизна метрик семейства да,с,л,Л';«
4.5. Секционная кривизна метрик семейства да,с,,*';*
4.6. Функционал скалярной кривизны
на семействе метрик да,с,,';1
4.7. Функционалы кривизны на Лг^(52п+1 х 52р+1)
4.8. Пространство инвариантных комплексных структур
на и(п + 1 )/и{п) х и(р + 1 )/и{р)
Список литературы

В работе исследуются некоторые вопросы геометрии пространства почти
* комплексных структур на гладком (класса С°°) компактном почти эрмитовом многообразии (М, уо,-ЛьИ)) без границы, размерности 2п. Изучается вопрос геометрии пространства инвариантных почти комплексных структур на произведении нечетномерных сфер. Исследуются свойства инвариантных почти эрмитовых структур на этом произведении.
В исследовании использованы методы дифференциальной геометрии, теории расслоенных пространств, теории однородных пространств, формулы О’Нейла для римановых субмерсий.
, Пространство почти комплексных структур является множеством гладких сечений расслоения над М, называемого твисторным. Это расслоение интересно само по себе. Изучению этого расслоения посвящены работы Дж.
| Рансли [61], Н.Р. О’Брайана [33], Берара-Бержери Л., Очаи Т.[29] и ДюбуаВиолега М. [43]. В этих работах предприняты попытки установить связь между свойствами различных структур па твисторном расслоении и свойствами самого многообразия М. В первой части предоставленной работы исследуется пространство гладких сечений твисторного расслоения. Систематическое изучение пространств гладких сечений расслоения над М начато в работах Иллса Дж. в 1958 году [48, 47, 1]. Пространства сечений являются
, вообще говоря нелинейными. Поэтому анализ таких пространств потребовал, кроме введения топологии, задания локальных карт, определения их как бесконечномерных многообразий [1].
С геометрической точки зрения наиболее интересными пространствами сечений являются пространство всех римановых структур на многообразии
* М и пространство почти комплексных структур на М. Фундаментальной работой по изучению пространства М. римановых структур является ра-бота Эбина Д. [45]. Пространства почти комплексных структур изучались в работах Ирла С., Иллса Дж. [44], Блэра Д. [31], Коисо Н. [57]. Наиболь-

(здесь (—В2) 2- обозначает симметричный положительно определенный квадратный корень). Построенная почти комплексная структура 3 ортогональна относительно до:
д0((-В2)^ВХ,(-В2)^ВУ) =до(Х,-В(-В2)-'Ц-В2)-1’ВУ)
= 9о(Х,Г)
Также ./і положительно ассоциирована относительно формы ы3: и3(31Х,31¥) = д0(В2(-В2)-^2Х,(-В2)-^2В¥) = д0(В2(-В2)~^2Х,В¥) = -д0(Х,В¥) = -и3(¥,Х) =и3{Х,¥)

и3(Х,9гХ) = до(ВХ, В(—В2)~^2Х) = д0(Х, (~В2)1'2Х) > О
Тогда по лемме 2.8 ./| задает ту же ориентацию, что и 7, а значит .] Є АО^0.
Сопоставим ф фундаментальную форму ш3і(Х, У) = до(^Х,¥). Используя свойство 4 оператора В, можно показать, что 7 лежит в :
и>31УХ,ЛГ) = д0(В(-В2)~Ьх,3¥) = и3({-В2)~Ьх,3¥)
±Ы-(-В2)-*Х,9¥) + д0(9(-В2Г*Х,¥)) = и31(Х,¥)

и3і{Х, ЗХ) = .90(ФХ, .IX) = д0(В(-В2)-х'2Х, ЗХ) = и,3((-В2)^Х,ЗХ) = ±(90((-В2)-'иХ,9Х) + д0((-В2)-1Х,Х)) > О Таким образом, на А+ можно определить проекцию
тг: А+ —> АО+ я : .7 —> и3 — В —> 3
такую, что тг(.7) = 3 С АО^о и З Е Л* , для любого З Є А+
Обратно, если ,7 Є А^^, для некоторого .7і € ЛО*0, то существует К Е Г(Епс1^1(М)), 1 - КТК > 0 такой, что 3 = (1 - К)3Х{ 1 - А')-1. Тогда