Категорные методы исследования полукубических множеств и пространств как моделей параллельных процессов

• Автор: Ошевская, Елена Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Полукубические множества. Категорные и
йг-топологическая эквивалентности
1.1. Некоторые понятия теории направленной топологии
1.2. Полукубические множества и раЯ-эквивалентности
1.3. Категория р§е! и ее полная подкатегория Р
1.4. Яг-топологический критерий Р-открытости. Р-экви-
валентность
1.5. Яотр8е1;-эквивалентность
1.6. Рр-эквивалентность
1.7. Соотношения эквивалентностей на полукубических
множествах
Глава 2. Полукубические множества и полукубические пространства
2.1. Полукубические пространства
2.2. Категория рбрасе- и ее соотношение с категорией

2.3. Полная подкатегория ф- и ее соотношение с подкатегорией Р

2.4. Сохранение открытых морфизмов и (^-топологический критерий ^--открытости
2.5. Ра£/г-эквивалентность полукубических пространств
и ее совпадение с ^--эквивалентностью
Глава 3. Полукубические множества и Чу-пространст-

3.1. Категория бС1ш и ее подкатегория бР
3.2. Корефлексивная подкатегория ор§е! сй-односвязных

3.3. Эквивалентность категорий ор§е! и бС1ш
3.4. Сохранение открытых морфизмов и совпадение Р- и
бР -эквивалентностей
Заключение
Литература
Список работ автора по теме диссертации
Введение
Актуальность. Последние десятилетия наблюдается интенсивное проникновение идей и методов теории категорий [1, 2, 33] в различные области современной математики: алгебраическую топологию, алгебраическую геометрию, современную алгебру, математическую логику и др., а также в смежные науки — физику, химию, биологию и информатику. С другой стороны, своим происхождением и побудительными причинами для своего развития теория категорий обязана алгебраической топологии [2]. С конца прошлого столетия методы теории категорий и алгебраической топологии стали активно применяться в теории параллельных процессов (см., например, [18-21, 31]). Используя тот факт, что теория категорий концентрируется на свойствах отображений между объектами с определенной структурой, Винскелю, Нильсену, Сассоне, фон Глаббику и др. удалось классифицировать разнообразные модели теории параллелизма, устанавливая наличие рефлексии/корефлексии между их категориями [36, 41, 44, 48], а также унифицировать различные эквивалентности параллельных процессов [28-30, 32, 34-36, 39-41, 46, 47]. В середине первого десятилетия текущего столетия появились работы Грандиса [24, 25], Фейструп и др. [12, 15-17], Окура. и др. [22, 27], Рауссена. [38], Бубеника [11], развивающие теорию направленной топологии для изучения параллельных процессов, в которой топологические пространства (<й-пространства) обладают покрытием из карт с частичными порядками, согласованными на пересечениях карт. Многие понятия успешно переносятся из алгебраической топологии в направленную с учетом заданного порядка. Например, на смену фундаментальным группам и фундаментальному группоиду классического пространства пришли фундаментальный моноид и фундаментальная категория направленного пространства. В работах Пратта [37] и фон Глаббика [43] для описания параллельных процессов была предложена и исследована модель полукубических множеств (кубических множеств без вырожденностей), которые, как было показано позже,

(б) если существует 7Г2 : 0 —> Х2 такой, что о т = 7Г2, то существует тт[ : <3 -» Хх такой, что тт[ о т = и (71^, 7Г2) € В.
• Два объекта Хх и Хг в М являются сильно Яотр-эквивалентными, если и только если они являются Яот^-эквивалентными и множество В также удовлетворяет условию:
(в) если (Ух : 0 —> Хх, 7Гз : 0 —» Х2) Е Я и существует т : Р —» <3 в Р, то (-л-'х о т,тт'2о т) 6 Б.
Для полукубических множеств, когда в качестве М и Р рассматриваются соответственно категория рВе^ и малая подкатегория Р1 с их общим начальным объектом ЕВ0, будем говорить о Яотр§е,;-эквивалентности.
1.6. Яр-эквивалентность
Еще одна категорная эквивалентность основана на категории коалгебр, индуцированной эндофунктором категории индексированных множеств.
Начнем с определения понятий из работы [32]. Пусть М — локально малая категория с малой подкатегорией Р. Рассмотрим категорию 5е^р [Р|-индекси-рованных множеств, где |Р| — множество объектов в Р. Определим эндофунктор Яр : —>• на объектах категории как отображение, дей-
ствующее по правилу:
{5р}Р6|Р| —» { Д (Г(5<5))Я"”р(РЛ,К[Р|.
Ое|Р|
где "Р(-) — множество всех подмножеств, 5р — компонента |Р[-индексированного множества Я для Р € |Р| и Яотр(Р, 0) обозначает множество всех морфизмов из Р в 0 в категории Р. На морфизмах категории Яе^р1 эндофунктор Яр действует следующим образом:
{/Р : Яр -> 5р}Рб|Р| —> { П 9Ро : Я(Я0)Яотр(Р’°> -> ТДЯ^^К^
<Зе|Р|