Обобщенный индекс векторных полей Морса-Ботта, трансфер расслоений и их приложения

• Автор: Фельдман, Константин Эдуардович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 61 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Эквивариантный аналог теоремы Пуанкаре-Холфа
1.1. Трансфер
1.2. Локализация
1.3. Эквивариантные векторные поля и трансфер Беккера-Готтлиба
2. Характеристические классы в кобордизмах
2.1. Векторные поля Морса-Ботта на грассманизациях разложимых векторных расслоений
2.2. Теоремы сложения для характеристических классов Понт-рягина
2.3. Новое доказательство гипотезы Фробениуса о размерностях вещественных алгебр без делителей нуля
2.4. Характеристические классы Понтрягина комплексных векторных расслоений
3. Исчисление Шуберта
3.1. Трансфер и гомоморфизм Гизина
3.2. Обобщенью полиномы Шура в кобордизмах
3.3. Следы в алгебраических расширениях
Литература

Введение
Классический вопрос о препятствиях к существованию сечения в расслоенном пространстве послужил стимулом для создания мощных методов алгебраической топологии. В середине 70-х годов Беккер и Готтлиб открыли, что достаточно широкий класс расслоенных пространств (например, все расслоения с гладким компактным слоем) обладают сечением в стабильной категории. А именно, после многократной надстройки над проекцией расслоения появляется непрерывное отображение из надстройки над базой в надстройку над пространством расслоения, алгебраические свойства которого во многом аналогичны свойствам сечения расслоения (см. [9]). Это отображение было названо трансфером, поскольку оно обобщает известную алгебраическую конструкцию из теории когомологий групп [20]. Один лишь факт существования трансфера Беккера-Готтлиба дает сильные ограничения на взаимоотношения когомологических свойств базы и пространства расслоения. Например, если слой расслоения имеет ненулевую эйлерову характеристику, то в рациональных когомологиях гомоморфизм, индуцированный проекцией расслоения, является мономорфизмом на прямое слагаемое [9].
Трансфер Беккера-Готтлиба в ряде случаев может быть выражен в терминах обыкновенных сечений расслоения. Например, если на расслоении задано послойное действие окружности, множество неподвижных точек которого представляет собой набор различных сечений расслоения, то трансфер такого расслоения стабильно гомотопен сумме этих сечений [8]. Естественные обобщения этого случая дают выражения трансфера расслоения через трансферы специальных подрасслоений из [14, 24]. Эти выражения называются локализацией трансфера. Результаты о локализации трансфера, полученные к настоящему времени, играют важную роль как в теории расслоенных пространств, так и в ее приложениях

(см. примеры в [8, 14, 16, 24, 38]). В то же время, эти результаты не дают полного ответа в задаче о локализации даже в случае расслоения со слоем окружность 51. В основе настоящей работы лежит решение проблемы локализации трансфера в терминах нулей векторных полей Морса-Ботта, касательных вдоль слоев исходного расслоения.
Трансфер Беккера-Готтлиба позволил по-новому взглянуть на теорию характеристических классов. Теория характеристических классов векторных расслоений, созданная Понтрягиным, Штифелем, Уитни и Чже-нем, опирается на построение инвариантов расслоений в терминах препятствий к существованию сечений в специальных расслоениях, ассоциированных с исходным (см., например, [31]). Аппарат теории характеристических классов оказал значительное влияние на развитие теории когомологических операций, теории кобордизмов, /1-теории и теории эллиптических операторов на многообразиях. В то же время, развитие алгебраической топологди оказываю существенное влияние на всю теорию характеристических классов. Опираясь на идеи Гротендика, для различных теорий когомологий стали исследовать вопрос о существовании в них характеристических классов векторных расслоений с различными дополнительными структурами. Построение и изучение свойств характеристических классов при этом подходе сводится к вычислению кольца обобщенных когомологий классифицирующего пространства (см. [20]).
В [15] был предложен способ построения характеристических классов при помощи трансфера Беккера-Готтлиба, который опирался на новое понятие - универсальные характеристические классы со значениями в соответствующие!! теории кобордизмов. В результате,,. вопрос о существовании характеристических классов в данной теории когомологий был сведен к задаче о нахождении преобразования некоторой универсальной теории кобордизмов в эту теорию когомологий. В основе построения универсальных характеристических классов лежит геометрическая реализация класса Эйлера расслоения через класс Тома, определенный для любого ориентированного в универсальной теории кобордизмов векторного расслоения. Класс. Эйлера задает старший характеристический класс векторного расслоения. Младшие характеристиче-

Доказательство. Применим свойство локализации трансфера к расслоению Ж?£+1(£01) (сНт£ = п). Используя следствие 1.1, получим, что для любого элемента х £ СО*(В,С1+1{£ © 1)+) и некоторого элемента о £ С 0° (ВС*1 ф 1)+) имеет место разложение
т(р)*х = т(р1)Ч*1х + т(р2)*аг%х,
где т(р) - трансфер расслоения (Ж?£(£), В,р), и т(р2) - трансфер
расслоения (ВО), ВС1_г, В,р2), остальные отображения определены в свойстве локализации.
Поскольку при вложении С В.С'1+1 (£ 0 1) тавтологическое
векторное расслоение £(к) над ЖД]+1(£©1) переходит в сумму £(&—1)01, где £(& — 1) - тавтологическое векторное расслоение над ЖДДД), то
т(р)*х{С ®£(к)) = т(Р1)*х(С ® £(к)) + т(р-2уаХ(С® (£(к - 1) 0 1))
= т(р1)*х{С®£{к)).
Отсюда получаем первое равенство теоремы. Для доказательства второго равенства необходимо векторное поле из пункта 1 умножить на -1 и провести аналогичные рассуждения.
Следствие 2.1. При нечетных к полуцелый класс Понтрягина ри/ДС) 2-примарен.
Доказательство. В силу теоремы
Рк/'2(1 Ф 0 = (-1)*Р*/2(0(т°а(2ТоГ8))>
а в силу теоремы
Рк/2(1® О =Рк/з(0-
При нечетных к эти равенства совместны только, если рк/2(0 £ 2Тогз.
Следствие 2.2. Для любых двух вещественных векторных расслоений £ и С выполняется соотношение [15]
Р2*/2(£©СН 2 Р2*1/2(0Р2*2/2(С)(п1О(1(2ТоГ8)).
к1+к2=к