Различные виды замкнутости в S(n)-пространствах

• Автор: Осипов, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 57 с. : ил.

1 Различные виды замкнутости и ^-замкнутости в 5(п)-пространствах

1.1 Слабо 5(п)-0-замкнутые и слабо 5(п)-замкнутые пространства

1.2 Некоторые примеры

1.3 Новые характеристики 5(п)-замкнутых и 5(п)-0-замкнутых пространств

2 О некоторых свойствах 5(п)-пространств

2.1 Классы пространств, в которых для 5(п)-замкнутости пространства X

достаточно, чтобы X было слабо-5(ге)-замкнутым пространством

2.2 Новая характеристика 5(п)-неуплотняемых пространств

2.3 О мощности 5(п)-пространства

3 Решение некоторых известных проблем в теории .^(п)-пространств

3.1 Проблемы Dikranjan и Giuli [13]

3.2 О проблеме Berri, Porter и Stephenson [12)
3.3 О компактности пространства в котором любое замкнутое подмножество слабо Я-замкнуто
Литература

В 196G году Н.В.Величко [2] было определено понятие 0-замкнутости. Для любого подмножества М топологического пространства X в-замыкание clgM определяется как {х € X : для которых любая замкнутая окрестность точки х пересекает М}. Это понятие активно применялось многими топологами для изучения хаусдорфовых нерегулярных пространств. Так, например, работы T.Hamlett [14], D.Jankovic [16], J.Porter и C.Votow [22], A.A.Грызлова [3] используют оператор 0-замы-кания для изучения внутренних свойств //-замкнутых пространств и пространств “близких” к //-замкнутым (функционально компактные, бикомпактные и др.). В 1986 году D.Dikranjan и E.Giuli [13] вводят более общее понятие оператора 0”-замыкания, развив теорию 5(п)-прострапств, 5(п)-замкнутых и 5(п)-0-замкнутых пространств. В 1997 году вп-замыкание используется для изучения свойств 5(п)-неуплотняемых пространств в работе S.Jiang, I.Reilly и S.Wang [17].
Пусть V некоторый класс топологических пространств. V-пространство X называют "P-замкнутым (соответственно V-0-замкнутым), если X замкнуто (соответственно 0-замкнуто) в любом объемлющем "Р-пространстве. Обзорная статья M.Berri, J.Porter, R.Stephenson, Jr [12] предоставляет широкий спектр различных V-замкнутых пространств, где V такие классы топологических пространств как хаусдорфовые, нолурегулярные, урысоновые, регулярные, фупкционально-хаусдорфовые (для любых двух различных точек существует непрерывная вещественная функция, различающая эти точки), пространства обладающие первой аксиомой счетности, паракомпактные и совершенно нормальные. Изучение Д-замкнутых пространств, где Д это класс вполпс-регулярных и регулярных хаусдорфовых пространств встречаем также у Г.Киртадзе [5].
В данной работе продолжается изучение внутренних свойств £ (незамкнутых, £ (п) - 0 - з а м к н у т ы х и 5 (п) - неу и лот н я е м ых пространств с использованием оператора 0-замыкания, а также вводятся более широкие классы пространств такие как слабо £(п)-замкнутые и слабо £(г/,)-0-замкнутые пространства. Отметим, что в мемуаре П.С.Александрова и П.С.Урысона [1] было замечено, что любое //-замкнутое пространство обладает свойством (*)
(*) любое бесконечное множество регулярной мощности имеет точку в-накоплепия.
Там же был поставлен вопрос о достаточности этого свойства (*) для того чтобы пространство было Я-замкнутым. Напомню, что достаточным условием для компактности пространства является свойство:
любое бесконечное мноо/сество регулярной мощности имеет точку полного накопления.
Первый пример не Я-замкнутого пространства, обладающего свойством (*), был построен Г.Киргадзе [5]. А.А.Грызлов [3] продолжил изучение Я-замкнутых пространств и пространств со свойством (*), исследуя две задачи. Первая — нахождение классов пространств в которых для Я-замкнутости пространства достаточно, чтобы оно обладало свойством (*). Например, таким классом является класс финально-компактных пространств. Вторая — нахождение характеристики Я-замкнутого пространства через точки ^-накопления. Рассмотрение точек подобных точкам 0-накопления, но уже в различных £(п)-пространствах, привело к определению точки 0(п)-пакопления (0°(п)-накопления).
Естественным, в классе £(?г)-пространств, было ввести два типа пространств. Первый — обладающий свойством:
(**) любое бесконечное лтоо/сество регулярной мощности имеет точку в (гг)-накопления.
видна, поскольку в компактном пространстве каждое замкнутое подмножество компактно и потому if-замкнуто. Его достаточность для пространств с первой аксиомой счётпости была доказана Александровым и Урысопом [1]. Для произвольных пространств, применяя алгебраический метод, достаточность впервые доказал Стоун [24]. На основе доказательства Стоуна, Илиадис и Фомин [4], применяя метод центрированных систем и понятие абсолюта, получили топологическое доказательство этого критерия. Наконец, Грызлов [3] доказывает этот критерий, применяя свойства точек 0-накопления.
Заметим, что {/-замкнутые пространства и {/-/-замкнутые пространства - это 5(2)-замкнутые и 5(2)-0-замкнутые пространства соответственно.
Очевидно, что если в урысоновском пространстве X любое замкнутое подмножество {/-/-замкнуто, тогда X есть бикомпакт. В 1970 году Berri, Porter и Stephenson [12] ставят проблему о компактности урысоновско-го пространства, в котором любое замкнутое подмножество {/-замкнуто ([12],Problem 15).
Напомним, что под ai або- if-зам к ну тым пространством понимается слабо-S(1)-замкнутос пространство, а под слабо-f/-замкнутым пространством — слабо-S'(2)-зам кнутое пространство.
Этот параграф посвящен изучению аналога критерия Александрова-Урысона, а именно, нахождению достаточных условий компактности пространства,в котором
( а ) каждое замкнутое подмножество елабо-Н-замкнуто, или
( б ) каждое замкнутое подмножество с л або- II-зам к ну то.
Заметим, что по Теореме 1.1.2 любое {/-замкнутое пространство слабо-{/-замкнуто, значит, достаточных условий для компактности пространства, в котором любое замкнутое подмножество слабо-!/-замкнуто, бу-