О корректной постановке задачи рассеяния упругим клином

• Автор: Камоцкий, Владимир Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 71 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Обозначения и результаты
1.1 Обозначения и основные уравнения
1.2 Уходящие решения
1.3 Полученные результаты и структура работы
2 Метод спектральных функций
2.1 Интегральная система, спектральная функция
2.2 Свойства интегральных операторов и операторов сдвига
2.3 Теорема об изоморфизме
2.4 Существование решения задачи о падении плоской волны, невырожденный случай
2.5 Асимптотика в дальнем поле
3 Тензор Грина
3.1 Тензор Грина свободного пространства
3.2 Существование тензора Грина для упругого клина
3.3 Асимптотика тензора Грина
4 Теорема единственности для упругого клина

4.1 Условия излучения
4.2 Единственность в Ь
5 Задача о падении плоской волны под критическим углом
5.1 Отраженные волны
5.2 Задача на бесконечности
5.3 Локальная задача
Литература

Введение
Исторический обзор
История задач о рассеянии угловыми областями имеет своим началом работы Пуанкаре [1], [2], опубликованные в конце 19 века. В этих работах с помощью метода рядов впервые была рассмотрена стационарная акустическая задача дифракции на клине с условиями Дирихле и Неймана.
Вскоре Зоммерфельдом было получено решение задачи о дифракции плоской электромагнитной волны на экране, с идеальными граничными условиями (см. [3]). Найденное им интегральное представление для решения задачи носит его имя- “интеграл Зоммерфельда”.
В 1932 В. И. Смирновым и Л. С. Соболевым (см. [4]) был предложен новый аналитический метод решения двумерных нестационарных задач дифракции. С его помощью было найдено решение задачи о рассеянии на клине с идеальными граничными условиями акустического поля с точечным источником. Детальное изложение этого метода и его приложение к задаче об акустическом угле можно найти в написанной Соболевым гл. 12 |5]. М. М. Фридман [6],[7] и А. Ф. Филиппов [8] применили этот подход для решения задачи дифракции упругой волны на трещине. Решение этой задачи в стационарной постановке было найдено Мауэ [9] с помощью метода Винера-Хопфа.
В середине 50’ых годов прошлого века Г. Д. Малюжинец [10]-[11] нашел решение задачи о рассеянии акустической плоской волны клином с импедансными граничными
Рис. 2.4: Контуры 70 и С, случай в > -к.
Аналогично мы находим и вклад £2 н рассеянное поле, имеем:
... . р-М'.Г
4 Ы,г/2) = т~7== ^ ~ йі2)2і(-і/,соз6і2), (2.5.8)
2ч/2тт
здесь 62 = <р — в. Полное поле, рассеянное вершиной клина, является суммой двух последних вкладов:
г/«*) = + 4'*)- (2.5.9)
Теперь, чтобы отделить продольную и поперечную составляющие поля, перейдем в этих выражениях к полярным координатам. Мы будем использовать следующие обозначения:
„(<0 = у(Л),гдг + уМ.едеі (2.5.10)
где дг, де - канонические координатные векторные поля, а (г/^'г, у^,в) - координаты поля смещений в этом базисе. В этих обозначениях мы находим, что продольная волна,