Обратные задачи теории волновых процессов

• Автор: Благовещенский, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 234 с. : ил.

Введение
1. Деление задач на прямые и обратные примерно соответствует следующей точке зрения на их содержание. Представим физическую систему, на которую оказывается внешнее воздействие. Если известны структура (параметры) системы и характер воздействия, то можно поставить задачу об описании отклика системы на него. Это прямая задача. Предположим, что наблюдатель изучает систему по ее отклику на внешнее воздействие и ставит целью носстановить параметры системы. Подобные задачи относят к обратным.
Предмет этой работы — обратные задачи для систем (сред), проводящих волны, распространяющиеся с конечной скоростью. Опишем типичную ситуацию. Пусть такая среда заполняет пространственную область П. Вне области или на ее границе Г размещены источники, действие которых инициирует в П волновой процесс. Волны распространяются вглубь Г! и взаимодействуют с неоднородностями среды. Как результат, появляются рассеянные волны, возвращающиеся к Г и несущие информацию о строении среды в зоне, недоступной для прямых измерений. Рассеянные волны регистрируются внешним наблюдателем, находящимся на Г. Спрашивается, может ли последний извлечь из наблюдений информацию о среде? Если да, то как это сделать? Если же регистрируемые на Г характеристики волнового поля недостаточны для восстановления нужных параметров среды, что надо дополнительно знать о ее свойствах, чтобы компенсировать недостаток информации? Молено ли описать весь класс возможных данных (наблюдений), отвечающих выбранной математической модели среды?
Говоря о наблюдениях, сделаем одно уточнение. В работе в основном рассматриваются динамические обратные задачи, т.е. такие, в которых в качестве данных задаются значения (амплитуды) волновых полей. Последнее отличает их от так называемых кинематических обратных задач, в которых полагаются известными лишь времена пробега волн через среду.
Освещение затронутых выше вопросов в разнообразных конкретных ситуациях и составляет содержание работы. Излишне говорить об их важности для приложений, в числе которых геофизика, акустика, теория упругости, электродинамика. Как след-

ствие, посвященная им литература очень обширна и разнообразна. Дать ее полноценный обзор — весьма трудная задача. Автор ставил перед собой существенно более скромную цель — представить свои и результаты в этой области и непосредственно с ними связанные. Для систематического ознакомления с предметом мы могли бы рекомендовать основательные монографии [41], [50[, [54], [60], [62], [69].
2. В первых трех главах рассматриваются обратные задачи в ситуации, когда свойства среды описываются функциями лишь от одной независимой переменной. При этом следуют различать случай, когда распространение воли происходит в одномерной среде (или, что эквивалентно, функции, описывающие волны, зависят лишь от одной пространственной переменной и от времени) и случай, когда волновое поле зависит от многих переменных. В первой ситуации соответствующие обратные задачи мы называем одномерными, во второй — говорим об обратных задачах в слоистых средах. Другой принцип классификации обратных задач связан с разделением волновых полей на скалярные и векторные. В скалярном случае волновой процесс описывается одним уравнением в частных производных, в векторном — системой таких уравнений. Четвертая глава посвящена задачам интегральной геометрии.

Рассмотрим подробнее содержание каждой главы.

Глава I посвящена методам решения одномерных обратных задач. Эти методы являются основой для дальнейших рассмотрений (Главы 2 и 3). Заметим, что их отличительной чертой является локальный характер. Чтобы пояснить суть дела, сформулируем типичную задач}'.

Пусть распространение волн описывается уравнением:

utt = ихх + q(x) и, х > 0, (0.1)
причем и(х, i) удовлетворяет начальному и граничным условиям:
ut<0 = 0; их=0 = F(t), ихх=0 = G(t). (0.2)
Как известно, если мы знаем коэффициент q(x), то для нахождения волнового поля и(х, t) достаточно задать какую-нибудь одну из функций F(t) или G{t). Поэтому при известном q(x) задание обеих функций F(t) и G{t) делает задачу переопределенной, следовательно, имеет смысл считать q(x) неизвестной

и изучать вопрос об отыскании д(х) по известным Р(Ь) и 0(1). Оказывается, справедлив результат:
функция q(x) однозначно определяется по -Г(4) и (?(£).
Одним из наиболее характерных свойств уравнения (0.1) является конечность скорости распространения возмущений (конкретно в случае уравнения (0.1) эта скорость равна единице). Это означает, что если мы выбираем какую-либо точку хо > 0, то волна, порождаемая источником, находящимся в точке х = 0, успевает достичь точки Хц за время £ = х0. Благодаря неоднородности среды (непостоянству коэффициента д(х)) происходит рассеяние волны. Волна, рассеянная в окрестности точки Хо, успевает добежать до наблюдателя, находящегося в точке х = 0, к моменту t = 2ха- Поэтому, наблюдая рассеянные волны на временном интервале (0,2х0), мы можем получить информацию о том, как изменяется коэффициент q(x) на интервале (0, х0). Если же мы наблюдаем рассеянную волну при Ь 6 (0,2x1), Х > Хо, то эта волна содержит информацию о поведении ц(х) при х > хо-Эта информация является помехой, если мы интересуемся коэффициентом q(x) лишь при х е (0,Хо). Поэтому естественным представляется, что для того, чтобы восстановить q(x) на интервале (0, х0), достаточно знать данные обратной задачи при 1 е (0,2.То). Такой результат действительно имеет место в задаче (0.1), (0.2), а также в целом ряде сходных обратных задач.
Мы развиваем два метода решения обратной задачи, каждый из которых явно, но по-своему учитывает высказанное обстоятельство (в этом и проявляется локальность методов).
Первые два параграфа первой главы носят вводный характер и не содержат новых результатов. В них обсуждается постановка прямой и обратной задач, их физический смысл, устанавливаются необходимые для дальнейшего свойства решения прямой задачи. Основные методы решения одномерной обратной задачи изложены в $$ 1.3,1.4,1.6. Первый из упомянутых методов основан на сведении обратной задачи к нелинейной системе воль-террового (или близкому по своим свойствам к вольтерровому) типа, ему посвящен $1.3. Этот метод впервые предложен автором в статье [23]. Следующий $1.4 и $1.6 посвящены второму методу, с помощью которого обратная задача сводится к линейному интегральному уравнению типа Фредгольма — уравнению типа Гельфанда- Левитана-М.Крейна-Марченко (см. [39], [45],

зависит от функций hi, hi, входящих в постановку обратной задачи. Пусть заданы две нары функций: h(t), hi и hi(t), hi(t); операторы К и К построены с помощью функций hi{t) и A,-(t) соответственно. Разность (КХ)-(КХ) для любого X есть тройка
h{t-y)-hi{t-y), h2(t + y) -h2(t + y), h2{2y) - h2{2y).
Очевидно, она не зависит от выбора X. Пусть р(КХ, КХ) < 5, X и X — решения уравнений X = КХ и X — КХ. Через а обозначена а = {4Муа)п°/п0! < 1. Тогда
р{Х,Х) = р(КпаХ, Кп°Х) < р(Кп°Х, КпоХ) + р(Кп°Х, Кп°Х) < < р(КпоХ, КпоХ) + ар(Х, X),
откуда
р(Х,Х) < -^—р{КпоХ,Кп°Х).
1 — а
Оценим расстояние, стоящее в правой части последнего неравенства
р{Кп°Х, KnaX) < р{К(Кп°-1Х),К{Киа-1Х))+ +р{КК{Кп°~2Х), КК(Кпо~2Х))+ +р{К2К{Кп°-3Х), К2К(Кпо~3Х)) + ... + +р{Кп°-КХ), Кпо-Ч<Х).
Первое слагаемое не превышает 5, второе —
Шу0р(К{К"°-2Х), К(Кп°-2Х)) < ~^8, третье — HMsaJ..§ и т,д, в итоге
р{КпаХ, К°Х) <
1! 2! {по - 1)!
Тем самым, малым изменениям данных обратной задачи, таким, что
max (|V0 - hi(t)l Ih2{t) - h2{t)|) <
t£[0,2yo]