Алгебро-геометрические методы построения и решения дискретных интегрируемых систем

• Автор: Вольвовский, Юрий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
Введение
Обзор
Алгебро-геометрический метод
Основные результаты
1 Дискретные аналоги метрик Дарбу—Егорова
1.1 Введение
1.2 Дискретные аналоги коэффициентов Ламе
1.3 Дискретные аналоги уравнений Ламе
1.4 Алгебро - геометрические решетки
Приложение. Порождающая формула для решений уравнений ассоциативности .
2 Преобразования типа Бэклунда
2.1 Алгебро-геометрические решения уравнения п-волн
2.1.1 Непрерывный случай
2.1.2 Дискретный случай
2.2 Преобразование Бэклунда
2.2.1 Непрерывный случай
2.2.2 Дискретный случай
2.2.3 Преобразования типа Бэклунда для двумеризованной цепочки Тода .
3 Билинейные дискретные уравнения Хироты
3.1 Рациональные решения ВБНЕ
3.1.1 Обратная задача

3.1.2 Прямая задача
3.2 Тригонометрический случай
3.2.1 Обратная задача
3.2.2 Прямая задача
3.3 Уравнение Хироты с нулевыми граничными условиями
3.3.1 Обратная задача
3.3.2 Представление Д’Аламбера
Заключение
Литература

Введение
Обзор
В настоящее время теория конечно-зонного интегрирования является одним из основных методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений. Отправной точкой развития этой теории послужила серия работ Дубровина и Новикова ([59], [43], [44], [47]), в которых был разработан метод обратной задачи и построена эффективная спектральная теория для операторов Штурма-Лиувилля с периодическим потенциалом. В частности, было показано, что потенциалы операторов с конечным числом лакун в спектре (так называемые конечно-зонные потенциалы) отвечают стационарным точкам высших потоков иерархии Кортевега-де Фриза. Работы Новикова и Дубровина сделали возможным построение периодических решений уравнения Кортевега-де Фриза в рамках метода обратной задачи.
Предпосылки для появления этого метода были созданы работой Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [19], в которой были найдены полиномиальные интегралы уравнения Кортевега-де Фриза, и работой Лакса [32], показавшего, что причиной возникновения этих интегралов является наличие у уравнения Кортевега-де Фриза определенного коммутационного представления. Более точно, уравнение Кортевега-де Фриза эквивалентно условию коммутации оператора Штурма-Лиувилля и некоторого дифференциального оператора 3-го порядка. Подобные коммутационые соотношения получили впоследствии название представления в виде Лакса. Уравнение Кортевега-де Фриза, таким образом, эквивалентно наличию у двух линейных дифференциальных уравнений большого запаса общих решений. Проблема их нахождения традиционно называется вспомогательной линейной задачей. Основываясь на представлении в виде Лакса, можно предложить метод построения решений уравнения Кортевега-де Фриза. Именно, уравнение Кортевега-де Фриза описывает динамику оператора Штурма-Лиувилля и, соответственно, динамику его спектральных данных. Последняя оказывается линейной и, таким образом, легко интегрируется. Основная трудность этого метода заключается в обратном переходе от спектральных данных к оператору Штурма-Лиувилля. Для операторов с быстроубывающим потенциалом этот переход носит название обратной задачи рассеяния. Эта задача была решена Гельфандом, Левитаном, Марченко и Фаддеевым в работах [42],[58] и [60].

точках 78 и <7(7,5) есть полюса у произведения А{фА~фа, но есть и ноль <1По, а в точках Яа и сг(Яа) — наоборот. В точках к ф гД взаимно сокращаются полюс одной из функций А^(и, С)), А~ф{и, <т((Э)) и ноль другой. То же относится к точкам Рф и Рф. У произведения А-^фАфф17 остаются полюса в точках Р* и Рф7, но там имеет ноль функция А(<2) — 1.
Из теоремы о вычетах мероморфного дифференциала на компактной алгебраической кривой получаем

^Ке8<9к ^ Д*х*(м) • А~хк(и) = (Aix(u),Aj■к(u)) = 0.
к=1 £=
Дифференциал
<Шй(и,<3) = (А((?) - 1)А1ф{и,С})Афф{и, С1а)<Ю.й имеет дополнительный полюс в точке Р* с вычетом
Ке8р+<^й = е2 (ТД+) (Тф^Д.
Равенство нулю суммы вычетов этого дифференциала завершает доказательство леммы.
Таким образом, мы доказали, что определенная равенствами (1.4.4) решетка является решеткой Дарбу-Егорова.
Для установления полного соответствия с предыдущими разделами вычислим еще некоторые скалярные произведения.
Лемма 1.4.2. Для скалярных произведений векторов Х^ имеют место формулы (1.2.3) и (1.2.5):
№,Хг)=2 &К*)Кф, {Т5ХиХф) = -{Т1Т^){ТфЪф), гф),
в которых = ефд ±.
Доказательство. Рассмотрим дифференциал
= Д^(м,<2) А^(и,а((ф>))<1С1о.
Он является мероморфным дифференциалом на Г и имеет только простые полюса в точках <2Ь..., <2П, а также в Р^ и в Рф, что можно показать, повторив рассуждения предыдущей леммы. Следовательно, сумма вычетов дифференциала в точках (Д, .... (фп, которая совпадает с левой частью (1.2.3), равна сумме вычетов в Р)+ и Рф, взятой с обратным знаком. Имеем
Левру = Иевр- = (Д/ь+)(-/ф),
откуда и получаем (1.2.3).
Равенство (1.2.5) получается абсолютно аналогично. Для этого достаточно рассмотреть дифференциал
(Ю.^ = Т]А.1ф(и, <ф) А^{и, а(<2))