Применение Принципа Лагранжа для построения оптимальных алгоритмов решения линейных обратных задач математической физики

• Автор: Баев, Андрей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 140 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Обратные задачи и задачи оптимального восстановления
1.1 Простейшие постановки задач
1.2 Обратная задача
1.3 Задача оптимального восстановления в случае точного задания оператора и правой части обратной задачи
1.4 Задача оптимального восстановления в случае погрешности задания правой части обратной задачи
1.5 Задача оптимального восстановления в случае погрешности задания оператора и правой части обратной задачи
2 Общее исследование обратной задачи и задачи оптимального восстановления
2.1 Постановка задач общего вида
2.2 Принцип Лагранжа
2.3 Достаточные условия существования решения ассоциированной задачи
3 Задачи с выпуклым уравновешенным множеством априорных ограничений
3.1 Сведение задачи оптимального восстановления к задаче в
конечномерном пространстве
3.2 Приближение бесконечномерной задачи конечномерными
задачами
3.2.1 Теоремы об аппроксимации
3.2.2 Погрешность метода оптимального восстановления конечномерной задачи

3.3 Общая схема решения обратной задачи
3.4 Задачи оптимального восстановления в конечномерном пространстве
3.4.1 Обтцая схема решения
3.4.2 Вспомогательные теоремы
3.4.3 Задача оптимального восстановления в случае, когда окрестность погрешности является прямоугольным параллелепипедом
3.4.4 Задача оптимального восстановления в случае, ко-
гда окрестность погрешности является шаром
3.4.5 Случай малых погрешностей
4 Применение алгоритма оптимального восстановления к решению интегральных уравнений
4.1 Постановка задачи и проверка условий
4.2 Алгоритм решения задачи оптимального восстановления
для интегрального уравнения
4.3 Интегральные уравнения первого рода
4.3.1 Интегральное уравнение Фредгольма первого рода
с непрерывным ядром
4.3.2 Интегральное уравнение Абеля
4.4 Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с непрерывным ядром
4.5 Пример применения алгоритма
5 Оптимальные алгоритмы в обратных задачах с иетоко-представимым решением
5.1 Задачи с ограниченным истокопредставимым множеством
априорных ограничений
5.1.1 Постановка задачи и схема её решения
5.1.2 Решение ассоциированной задачи и поиск погрешности оптимального восстановления
5.1.3 Поиск метода оптимального восстановления
5.2 Оптимальный регуляризируютций алгоритм
5.2.1 Постановка обратной задачи

5.2.2 Метод расширяющихся компактов для оптимального восстановления значения функционала
5.2.3 Вспомогательные утверждения
5.2.4 Регуляризирующие свойства алгоритма
5.2.5 Оптимальность алгоритма
6 Применение теории оптимального восстановления к задаче нахождения распределения намагниченности тела
6.1 Практическая задача размагничивания кораблей
6.2 Экспериментальное исследование макета корабля
6.3 Математическая модель
6.4 Обезразмеривание математической модели
6.5 Схема применения разработанной теории
6.6 Результаты расчётов
Заключение
Литература

Принцип Лагранжа позволяет свести задачу оптимального восстановления к поиску решения ассоциированной задали и поиску множителя Лагранжа Л, при котором функция Лагранжа достигает минимума на решении ассоциированной задали. При этом встают вопросы существования и единственности решения ассоциированной задали. Далее будут приведены достаточные условия существования решения у ассоциированной задачи, если на пространстве У введена норма. Из Принципа Лагранжа следует, что если решение ассоциированной задачи существует, то метод оптимального восстановления тоже существует. Его погрешность равна значению максимума и ассоциированной задаче. Во многих практических случаях ассоциированная задача ту задача оптимального восстановления имеют не единственное решение. Но легко понять, что это тте является проблемой для применения теории, поскольку в луобом случае угаходятся именно погреутуность оптутмэлушого восстановления уу метод оптимального восстановления. Об этом же говорит и практическое применение задач оптимальтуого восстановления у< уюнкретным прикладным задачам: достаточно, чтобы алгоритм находил какой-нибудь метод оптимального восстановления и какое-нуубуду, реупеште ассотщированной задачи.
2.3 Достаточные условия существования решения ассоциированной задачи
Докажем теорему о достаточных условиях сууущствования реуутения ассоциированной задачи (2.5).
Теорема 2.2. Пусть Z — нормированное пространство, У = Кт, £ £ Z*, мноо/сество М С Z слабо секвенциально компактно в У, линейный оператор И : Z —» У непрерывен, множество О С У выпукло и замкнуто. Тогда существует решение задачи (2.5).
Доказательство. Рассмотрим следующую экстремалъууую задачу
{£, г) —т тах, 2 6 М, —Рг £ О. (2.6)
Очевидно, что если г является реуугением этой задачи, то пара (Д 0) 6 У х У является решением задачи (2.5). Докажем суутт,ествование ретууения