Математические задачи нелинейной теории переноса. Газокинетическое уравнение

• Автор: Макин, Руслан Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 372 с. : ил.

Содержание
Введение

§ В1. Актуальность темы

§ В2. Современное состояние проблемы (обзор литературы)

§ ВЗ. Основные результаты и структура диссертации

Глава

Нелинейная нестационарная система уравнений переноса

§1.1. Операторы в банаховых пространствах

§ 1.2. Условия и постановка задачи

§ 1.3. Свойства операторов переноса

Г лава
Теоремы о существовании решений
§ 2.1. Теорема о продолжении решения
§ 2.2. О решении для Условия А
§ 2.3. Существование сильного решения при выполнении Условия В
Глава
Качественные свойства решения нелинейной задачи
§ 3.1. Положительность решения задачи Коши
§ 3.2. Положительность решения нелинейной задачи
§ 3.3. О не существовании глобального решения
Глава
Стационарная нелинейная задача
§ 4.1. Свойства операторов стационарной задачи
§ 4.2. Нелинейная стационарная задача. Существование решений
§ 4.3. Существование условно-непрерывной ветви полуеобственных векторов
§ 4.4. Существование стационарных решений
§ 4.5. Устойчивость стационарного решения
Глава
Свойства оператора нелинейной стационарной задачи
§ 5.1. Полнота корневых векторов условно-критической задачи
§ 5.2. Условно-критическая задача в однородной среде
§ 5.3. Существование точек бифуркации
§ 5.4. Условно-критическая задача в неоднородных средах
Глава б
Свойства линеаризованной задачи
§ 6.1. Основные сведения п результаты из теории операторных пучков
§ 6.2. Операторные пучки с нелинейным вхождением спектрального параметра
§ 6.3. Спектральные свойства линеаризованной задачи
§ 6.4. Существование ведущего собственного значения и теоремы полноты для
линеаризованной задачи
Глава
Инвариантные многообразия и нелинейные свойства решений
§7.1. Основные положения теории бесконечномерных динамических систем
§7.2. О существовании инерциальных многообразий для одного класса эволюционных
уравнений
§7.3. Нелинейные свойства решений исходной динамической системы
§7.4. О существовании инерциальных многообразий для нестационарных задач
Глава
Задачи нелинейной теории переноса в многогрупповом диффузионном
(Р]-) приближении

§ 8.1. Условия и постановка задачи
§ 8.2. Условия и постановка задачи о ксеноновой неустойчивости
§ 8.3. Сравнительный анализ модельных задач и некоторые выводы
Заключение
Приложение 1. Спектр замкнутого оператора
Приложение 2. Полиномиальные операторные пучки
Приложение 3 Краткий обзор приложения результатов
Список литературы

Введение
§ В1. Актуальность темы
Безопасность эксплуатации ядерных энергетических реакторов и других радиационно-опасных установок различного назначения является одной из важнейших проблем современной энергетики и нелинейной динамики. Большое значение в решении этой проблемы имеет знание и исследование их динамических характеристик. Целью исследования динамики в конечном итоге является доказательство устойчивости стационарных режимов нелинейной системы или отыскание условий, при которых обеспечивается указанная устойчивость. Обычно a priory такой информации либо нет, либо ее чрезвычайно мало. В этих условиях практически единственной возможностью является создание адекватных математических моделей и их последующий анализ [1-3]. При этом недостаток экспериментальных данных может быть компенсирован более полным математическим описанием основных процессов [3,4]. Повышение требований безопасной эксплуатации приводит к резкому росту требований в се обеспечение и точности проектных предсказаний [2,3]. При этом существенно возрастает роль различных эффектов, связанных с распределенностью, неоднородностью систем и нелинейностью происходящих сложных процессов [4-9].
В то же время используемые для анализа подобных нелинейных систем весьма упрощенные математические модели либо вообще не учитывают указанных эффектов, либо учитывают их очень приближенно, например, в рамках линеаризованных моделей [3,4,10-12]. Это связано в первую очередь с тем, что сложные распределенные системы в неоднородных нелинейных средах обычно описываются системой уравнений в частных производных или системой интегро-дифференциальных уравнений и должны рассматриваться в весьма общих банаховых пространствах [13-22]. Заметим, что сама процедура линеаризации для сложных нелинейных систем, как правило, требует строгого обоснования. При этом в отличие от упрошенных, точечных или полуточечных моделей, важную роль начинают играть такие вопросы как существование и единственность решения в исследуемом классе функций (функциональном пространстве), непрерывная зависимость его от начальник данных и физических коэффициентов системы, существование положительных стационарных решений, свойства полноты и сходимости корневых векторов, словом, все вопросы, связанные с корректностью и непротиворечивостью рассматриваемой математической модели; Без ответа на эти

2. Формулировка и доказательство теорем существования и единственности решений исходной нелинейной задачи, где перенос описывается газокинетическим уравнением, в некотором бесконечномерном функциональном пространстве.
3. Установление условий существования и свойств решений стационарной нелинейной задачи, отвечающей исходной системе, включая вопросы полноты собственных (корневых) векторов, устойчивости решений и существования точек бифуркации.
4. Обоснование метода линеаризации (первого метода Ляпунова) в задаче устойчивости стационарных и периодических решений исходной нелинейной задачи.
5. Анализ спектральных свойств линеаризованной задачи, нелинейным образом зависящей от спектрального параметра; исследование структуры спектра, его асимптотики и других важных спектральных свойств.
6. Доказательство обобщенной теоремы Смейла - Биркгофа (условий существования гомоклинической точки трансверсального пересечения инвариантных (локальных) многообразий (метод Мельникова)). Установление существования инвариантного гиперболического множества, топологически эквивалентного подсдвигу конечного типа (подкове Смейла) для исходной нелинейной задачи.
7. Установление условий существования инвариантных конечномерных множеств -инерциальных многообразий, исследование их свойств. Проверка спектрального условия (условия конуса) и доказательство существования конечномерных инерциальных многообразий для исходной нелинейной задачи
8. Применение изложенных методов для более общих нелинейных динамических систем. Демонстрация изложенного подхода на примере практически важных модельных задач, в которых перенос описывается в многогрупповом диффузионном (Рц) приближении.
Среди основных результатов следует отметить следующие.
1. Сформулированы условия существования глобального решения и условия существования локального решения для нелинейной системы уравнений, описывающей нестационарные нейтронно-температурные распределения в ограниченных (мультиплицирующих) средах. Исследованы свойства операторов нелинейной задачи, включая свойство положительности решений в банаховых пространствах с положительными конусами. Эти результаты обобщают теоремы о продолжимых и непродолжимых решений в теории нелинейных динамических систем с распределенными параметрами.