Задача Максвелла о тепловом скольжении для квантовых ферми-газов

• Автор: Любимова, Наталия Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 140 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1 Кинетическое уравнение для квантовых ферми-газов
1.1. Релаксационное кинетическое уравнение
1.2. Уравнение для ферми-газов
1.2.1. Линеаризация нелинейного релаксационного кинетического
уравнения
Законы сохранения
1.2.2. Кинетическое уравнение
1.2.3. Векторное кинетическое уравнение
1.3. Постановка задачи максвелла о тепловом скольжении квантового ферми-газа
1.3.1. Постановка задачи
1.3.2. Уравнение состояния в квантовых газах
1.3.3. Линеаризация задачи
1.3.4. Уравнение для квантового ферми-газа в задаче о тепловом скольжении
Глава 2 Аналитическое решение задачи о тепловом скольжении
2.1. Постановка задачи и основные уравнения
2.2. Разделение переменных и характеристическое уравнение
2.3. Собственные функции непрерывного спектра
2.4. Дискретный спектр. Нули дисперсионной функции
2.5. Свойства дисперсионной функции
2.6. Теорема о решении однородной краевой задачи Римана
2.7. Интегральное представление факторизующей функции

2.8. Факторизация дисперсионной функции
2.9. Теорема о разложение решения по собственным функциям характеристического уравнения
2.10. Максвелловское приближение задачи о тепловом скольжении
2.11. Массовая скорость и функция распределения
2.12. Предельные случаи
Заключение
Библиография

Введение
Актуальность темы. В работах основоположников статистической механики Дж. Максвелла и Л. Больцмана были получены уравнения, описывающие разреженный газ с короткодействующим бинарным межчастичным потенциалом. В рамках кинетической теории разреженных газов были корректно описаны процессы перехода системы к равновесию и определены коэффициенты переноса (диффузии, вязкости, теплопроводности) через молекулярные характеристики вещества. Подтвержденное на практике, уравнение Больцмана является в настоящее время основным инструментом теоретического анализа и численных расчетов самых разноплановых задач: от проблем нестационарного обтекания тела в газовой динамике и описания химически реагирующих смесей до теории ядерных реакторов и релятивистских квантовых газов.
Уравнение Больцмана — нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, и, как таковое, является очень сложным математическим объектом, аналитическое решение которого возможно только в простых частных случаях. Поэтому усилия математиков были сосредоточены на анализе свойств этого уравнения, важнейшим из которых является закон возрастания энтропии, и разработке различных приближенных методов его решения. К последним относятся и модификации уравнения Больцмана, упрощающие его математическую структуру, но сохраняющие свойства исходного уравнения и позволяющие получать явные решения. Это простейшая модель газа без столкновений (столкновительный член равен нулю), модель с линеаризованным столкновительным членом по малому отклонению функций распределения от локально-равновесного состояния, а также релаксационное приближение, использующее характерную частоту парных соударений частиц как параметр, определяющий скорость релаксации системы к равновесию.

угол 9{м = соэб), зависящее от закона межмолекулярного взаимодействия, причем
V' = V - п(п V - п со), со'= со- п(п со- п V).
Для квантовых газов обобщением уравнения Больцмана является уравнение Юлинга-Уленбека, полученное в 1933 г. [80], которое имеет вид (1.1), где классический интеграл столкновений заменяется следующим:
£[/>/] = /[/(V1) Дсо')(1 + ДУ))(1 + /(со))-
/(V) Дсо)(1 + /(У')Х1 + Д®')ЖГ и,—1 сК1 с13ох
V « у
Ввиду сложности уравнения Больцмана при решении граничных задач кинетической теории для интеграла столкновений часто используют более простые выражения, называемые его моделями. Уравнение Больцмана, в котором интеграл столкновений Больцмана В[/,/] заменен его модельным М[/], называется (см. [5], [49]) модельным уравнением Больцмана, или модельным кинетическим уравнением.
От модельного интеграла столкновений М[/] требуется, чтобы он сохранял основные свойства полного интеграла столкновений. Так как полный интеграл столкновений Больцмана удовлетворяет условиям
] ч'ЛУ) £[/,/] = О, а = 1,2,3,4,5,
где у/а(У) - инварианты столкновений,
1/,(И) = 1, г2(Г) = К,уг3(П = Уу,ус4(П = К, у/А(У) = У2,
то и его модель М[/] должна удовлетворять этому условию
| ¥а (к) М[/] <1*7 = 0, а = 1,2,3,4,5.