Качественный анализ динамических систем с шумом на основе исследования уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова

• Автор: Ноаров, Александр Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Оглавление
Оглавление
Введение
Краткое содержание
Глава 1. Основная теорема существования
Глава 2. Теоремы о неотрицательности
1. Неотрицательность стационарного решения
2. Теорема о локализации нестационарных решений
3. О единственности стационарного решения
Глава 3. Численное исследование уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова
1. Математические основания алгоритма приближенного вычисления стационарного решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова
2. Численное исследование алгоритма
в одномерном случае
3. Численный анализ некоторых двумерных
динамических систем, возмущенных шумом
4. Заключение к главе
Глава 4. Исследование полноты одной системы
функций, линейно зависящих от параметра
Список литературы

Введение
Общая характеристика работы
В диссертации развиты и обоснованы новые методы исследования свойств устойчивости решений уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, возникающего в связи с анализом динамических систем, возмущенных шумом. Получено достаточное условие существования у уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова стационарного решения, являющегося плотностью вероятности. На его основе разработан алгоритм исследования устойчивости динамических систем к действию шума. Предложенный метод применим к динамическим системам наиболее общего вида в пространстве произвольной размерности.
Актуальность темы
В современном естествознании одно из центральных мест занимает исследование объектов вероятностной природы. К таким объектам относятся, прежде всего, физико-химические, испытывающие на себе влияние термодинамических флуктуаций. Другим примером служат объекты, функционирующие в случайной среде. При описании таких объектов часто прибегают к понятию стохастического дифференциального уравнения, то есть динамической системы х = ?(х), возмущенной шумом. Этой системе соответствует марковский процесс, плотность вероятности которого (при достаточно общих предположениях относительно шума) подчиняется уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова:

9u/at=Au-div(uf), xeiRn, t>0, u=uix,t). (1)
n „2 _ _ _ n
(Здесь Au= £ , f-fix) - векторное поле в R . )
i=l ax±
В диссертации в связи с анализом стохастических дифференциальных уравнений рассматриваются различные свойства устойчивости решений задачи Коши для уравнения (1). При этом в центре внимания оказывается вопрос о существовании у уравнения (1) стационарного решения, являющегося плотностью вероятности некоторой случайной величины. Существование такого решения уравнения (1), рассматриваемого по х в iRn, характеризует притягивающую способность векторного поля fix) и не всегда имеет место. Так, при f(x)=0 уравнение (1) обращается в уравнение теплопроводности, всякое решение которого (с интегрируемым начальным условием) равномерно по xe[Rn стремится к нулю при t —. Таким образом, интеграл (по х) от решения по любому ограниченному (и измеримому по Лебегу) множеству из кп , то есть вероятность нахождения системы в этом множестве с течением времени стремится к нулю, плотность вероятности "расплывается" , стационарного решения, являющегося плотностью вероятности, не существует. С другой стороны, известны примеры векторных полей с устойчивой особой точкой, соответствующее уравнение (1) для которых имеет стационарное решение - плотность вероятности. Здесь, в отличие от уравнения теплопроводности, решение с течением времени сохраняет пространственную локализованность.
Т.к. - замкнутое подпространство ийи11) , а (1-Д) 2д0
непринадлежащий ему элемент, то по известной теореме (см. [12],

с. 121) его можно представить в виде (1-Д) д0 = а+Ь, ЬєС?ю , а а -ненулевая проекция (1-Д) 2д0 на ортогональное дополнение к . Тогда (а, (1-Д)-2 )2 = 0 при ієіи , а
(а, (1-Д)-2 д0) 2 = (а,а+Ь) 2 = (а,а)2>0 , Т.к. (а,Ь)2 =0 И а -ненулевой вектор. Если теперь положить й=а/(а,а)2 , то будут
выполнены равенства из доказательства теоремы 1.1:
(и, (1-Д)-2 ді )2 = 0 при ієи, (и, (1-Д)-2 д0 )2 =1. Обращаясь к доказательству теоремы 1.1, приходим к следующему утверждению.
Теорема 1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Тогда
проекция (в кг2(кп)) вектора (1-Д)-2д0 на ортогональное (в м2(кп))

дополнение к (сю= и . умноженная на функцию д0и некоторое

положительное число, будет стационарным решением уравнения (1),
удовлетворяющим заключению теоремы 1.1.
Проекцию вектора (1-Д)-2д0 на ортогональное дополнение к

можно сколь угодно точно приблизить проекцией вектора (1-Д) д0 на ортогональное дополнение к конечномерному подпространству , натянутому на к векторов (1-Д)-2д1 , (1-Д)-2д2 ,.. (1-Д)~2дк ;
последнюю проекцию (и ее длину, равную д.) нетрудно вычислить методами линейной алгебры. Таким образом, на основе теорем 1.1 и
1.2 возможно создание алгоритма приближенного вычисления стационарного решения уравнения (1) (подробнее об этом см