Дискретные модели кинетических уравнений для смесей

• Автор: Амосов, Степан Александрович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.

Глава 1. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА

ДЛЯ СМЕСЕЙ С КЛАССИЧЕСКИМ ЗАКОНОМ РАССЕЯНИЯ.

1Л. У равнение Больцмана для смесей. Дискретные модели.

1.2. Инварианты и индуктивная процедура для дискретных моделей.

1.3. Одномерная симметричная модель (М/т=3). '

1.4. Двумерная симметричная модель (М/т=3).

1.5. Модель с малым количеством импульсов {М/т~3).

1.6. Семейство квадратных моделей. , 29! ..

1.7. Малая модель, нормальная по каждой компоненте.
1.8. Некоторые семейства решений в целых числах уравнений для классических законов сохранения импульса и энергии. Общий
метод построения нормальных моделей.
1.9. Нормальные модели с малым количеством импульсов.
Глава 2. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ УРАВНЕНИЯ ТИПА БОЛЬЦМАНА ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ СМЕСЕЙ И УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ.
2.1. Дискретные модели релятивистского уравнения типа Больцмана.'
2.2. Столкновения при комптоновском рассеянии.
2.3. Нормальные модели для мёллеровского рассеяния.

2.4. Нормальные модели для комптоновского рассеяния.
2.5. Некоторые обобщения для упругих столкновений
релятивистских массивных частиц.
2.6. Модель для упругих столкновений релятивистских массивных
частиц в трёхмерном пространстве.
Заключение
Литература
Рисунки
Введение
Для изучения поведения макроскопических систем с парным взаимодействием, каковыми, в частности, являются разреженные газы и нереагирующие газовые смеси, активно используются кинетические уравнения и их дискретные модели. Наиболее часто применяемым для описания классических систем уравнением является уравнение Больцмана [21, 24, 33]. Это уравнение было предложено австрийским физиком Людвигом Больцманом в 1872 году. За свою более чем вековую историю уравнение Больцмана успешно применялось для описания поведения физических, биологических, социальных и экономических систем.
Во второй половине XX века во многом благодаря развитию электронной вычислительной техники и методов проведения численного эксперимента особую актуальность приобрели дискретные модели уравнения Больцмана, ки 1 орые активно изучались в последние три десятилетия [1-4]. Несмотря на значительный рост возможностей современных вычислительных технологий, решение уравнения Больцмана по-прежнему остаётся сложной задачей ввиду большой размерности кинетического описания, что предъявляет высокие требования к обоснованности приближенных (численных и аналитических) методов в кинетической теории.
Дискретные модели, являющиеся основным предметом исследования в настоящей диссертации, наследуют многие важнейшие свойства уравнения Больцмана. В частности, для дискретных моделей, равно как и для уравнения Больцмана, имеет место Н-теорема [1-4]. /-У-теорема явилась в своё время математическим обоснованием Второго начала термодинамики. Важность этой

можем пока организовать никаких столкновений с его участием. Следовательно, число инвариантов модели стало равным пяти. Формально эта модель является нормальной, но в ней нет обмена энергией между компонентами смеси. Для организации такого обмена в модель необходимо добавить реакцию, его обеспечивающую. Воспользуемся здесь формулой
участвовать в реакции, определяемой уравнением (1.8.2). В ней происходит обмен энергией между компонентами смеси, и модель является нормальной.
нормальную полностью симметричную модель. Заметим, что мы с лёгкостью можем провести её индуктивное расширение через добавление новь^х импульсов второй (тяжёлой) компоненты.
Итак, главная идея метода состоит в индуктивном построении модели с последовательным добавлением новых дискретных импульсов, соответствующих решениям упомянутой системы диофантовых уравнений. Метод легко обобщается на случай большого числа компонент смеси. Заметим, что получающаяся модель допускает сколь угодно длительное индуктивное расширение с сохранением нормальности. Отсюда для классического случая вытекает следующее утверждение:
Теорема 1.8.1. Для любого набора соизмеримых масс т/
существует счётное множество различных наборов дискретных импульсов
р .р€ 7^, где с = 1,с1 > , со столкновениями.
подчиняющимися условиям сохранения вида (1.8.1) и условиям симметрии
(1.8.2) при к=)г, /?2=0 и добавим к нашей модели
Тем же самым образом мы можем добавить импульсы
и соответствующие реакции с их участием. В итоге мы получим