Классическая и квантовая статистическая механика систем с непустым сингулярным множеством

• Автор: Орлов, Юрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 199 с.

Предисловие
Глава I. Проблемы построения статистической механики для систем с непустым сингулярным множеством
§ 1.1. У равнение Лиувилля в статистической механике
§ 1.2. Особые точки преобразования Лежандра
§1.3. Преобразование Лежандра слаборелятивистских систем
§ 1.4. Равновесные распределения для систем с вырождающейся массой
§1.5. Лагранжианы, зависящие от высших производных
Глава II. Функциональная гипотеза Боголюбова в слаборелятивистском случае
§2.1. Функциональная гипотеза
§2.2. Уравнения эволюции средних величин
§2.3. Локально-равновесные распределения для слаборелятивистских систем
§2.4. Уравнения гидродинамики первого приближения
§2.5. Вырождение гидродинамических связей
§2.6. Уравнения гидродинамики второго приближения
§2.7. Слаборелятивистское уравнение Власова
§2.8. Слаборелятивистское уравнение Больцмана
Глава III. Линейное квантование динамических систем и квантовые кинетические уравнения
§3.1. Линейное квантование динамических систем
§3.2. Квантовая цепочка ББГКИ
§3.3. Квантование вблизи сингулярного множества
§3.4. Функция Вигнера и правило квантования
§3.5. Особые свойства квантования Вейля
Глава IV. Метод линейных инвариантов в задаче спектрального анализа полиномиальных квантовых гамильтонианов
§4.1. Законы сохранения для квантовых полиномиальных гамильтонианов
§4.2. Асимптотика спектра при больших числах заполнения
§4.3. Специальные полиномы в задачах квантовой оптики
§4.4. Представления неклассических коммутационных соотношений
§4.5. Соответствие «квантовые гамильтонианы - кинетические уравнения»
Заключение
Список литературы

ПРЕДИСЛОВИЕ
Диссертация «Классическая и квантовая статистическая механика систем с непустым сингулярным множеством» состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 156 наименований, расположенных в алфавитном порядке. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Подпункты параграфов имеют тройную нумерацию, первым идет номер главы. Формулы внутри каждого параграфа имеют двойную нумерацию, с указанием на параграф; при ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы. Начало и окончание формулировок важных определений и теорем отмечаются соответственно знаками Т и А.
Во введении дается краткий обзор основных направлений исследований в области статистической механики классических и квантовых систем взаимодействующих частиц и формулируются проблемы, возникающие при обосновании традиционно применяемых методов, решению которых и посвящена настоящая диссертация.
В первой главе рассматриваются динамические системы, имеющие непустое сингулярное множество в фазовом пространстве лагранжевых переменных. Для таких систем преобразование Лежандра имеет особые точки, в которых следует доопределить понятие траектории. Используя метод продолжения траектории через особые точки с помощью непрерывных первых интегралов динамической системы, строится статистическая механика таких систем на основе уравнения Лиувилля, справедливого в каждой из областей фазового пространства, где якобиан преобразования Лежандра отличен от нуля. Доказана теорема о нульмерности сингулярного множества постньютоновых систем, что позволяет на основе классификации этого множества перейти в регулярных областях фазового пространства к гамильтонову описанию. В этих областях проведено преобразование Лежандра и построены соответствующие гамильтонианы слаборелятивистских систем. В качестве примера рассматриваются системы с запаздыванием взаимодействия - т.н. лагранжианы Дарвина и Фо-ка-Фихтенгольца, для которых дана классификация сингулярного множества и строятся равновесные функции распределения.

Также в первой главе проведено исследование движения, порождаемого некоторыми лагранжианами, зависящими от высших производных. Для двух классов таких лагранжианов (модели с ограниченными ускорениями и полиномиальной модели) построены точные решения уравнений движения, а для квадратичных лагранжианов выделен класс сингулярных решений на сфере произвольной размерности и построены все билинейные инварианты движения. Получено также решение задачи Кеплера в слаборелятивистском случае с учетом ускорений в квадратичной модели. Показано, что влияние ускорения в регулярных финитных решениях сводится к поправкам для параметров прецессирующей эллиптической орбиты и к появлению ангармонических колебаний удвоенной и учетверенной классической частоты.
Во второй главе проводится обобщение метода цепочек Боголюбова на случай систем, рассмотренных в первой главе. Показаны существенные отличия, которые приобретает функциональная гипотеза, от классической ее формулировки как в использовании некоторых традиционных представлений (например, о локально-равновесном распределении), так и при выводе уравнений гидродинамики. В частности, показаны отличия в структуре уравнений гидродинамики, получаемых непосредственно из цепочки и из кинетических уравнений (в частности, Больцмана и Власова), выводимых из той же цепочки посредством некоторого ее обрыва (замыкания). Получено точное решение линеаризованного слаборелятивистского уравнения Власова, описывающего поведение системы на малых временах по сравнению с временем гидродинамической релаксации. Запаздывание взаимодействия в этом приближении приводит к тому, что дисперсионное уравнение, определяющее частоты собственных колебаний системы, из алгебраического становится интегральным уравнением Фредгольма с вырожденным ядром. Найденное решение применяется затем к нахождению поправок для слаборелятивистского электронного газа и для системы тяготеющих масс.
Третья Глава IIосвящена проблеме квантования динамических систем, гамильтониан которых является произвольной функцией координат и импульсов. Для широкого класса линейных квантований получено общее ядро квантования, что позволило с единых позиций описать квантовые системы с достаточно произвольным правилом симметризации произведений некоммутирующих операторов. На этой основе получены квантовые обобщения цепочки статистических операторов для слаборелятивистских систем, рассматриваемых в первой главе. В рассматриваемом классе квантований выведено уравнение эволюции квазивероятности для слаборелятивистских систем. Показано, что среди линейных эрмитовых квантований гамильтониана только для квантования Вейля выполняются следующие свой-

А. Классический лагранжиан со степенной зависимостью от ускорения.
L = ^—+—, a = d/dteRn, А = const eR. (5.5)
2 2 А
Далее будем обозначать w = а. Согласно (5.1), уравнения движения имеют вид
a I I |/-2 та = — я 2 А
f а р'
8“Р+{1-2)а-Аг

(5.6)
+ (l_ tya'I 6(aw)2aa+1^ 4|jw|2aa+2(aw)wa j
При всех конечных значениях А и при / Ф1 лагранжиан невырожден. Если / = 1, то при п > 1 лагранжиан вырожден во всем фазовом пространстве. Из (5.2) следует, что для модели (5.5) сохраняется величина
£ = P0v + a—-£ = P0v+—lof-—, (5.7)
0 ck 0 2А11
где Р0 есть значение импульса, сохраняющегося в силу (5.6). Поскольку при / = 1 (5.7) можно представить в виде
(«IV -Р0)2 = Pq~ 2тЕ = const > 0, то допустимые скорости определяются выражением
v(/)= Pq Im + n(t)xjp02 - 2mE, (5.8)
где n(/) - произвольно направленный единичный вектор. Сингулярное свойство лагранжиана проявилось в том, что движение не определено однозначно. Это находится в согласии с трактовкой [111] сингулярных поверхностей в фазовом пространстве как множеств, порождающих хаотизацию движения.
При 1 = 2 лагранжиан сильно невырожден, и уравнения (5.6) легко интегрируются:
q(f) = q0 + v0/ - -Ц; (cosast -1) ^~(sin cost - cost), (5.9)
где cos = 4mA, A >0 - частота свободных вращений, совершаемых частицей, индексом «0» обозначены начальные значения фазовых переменных. Если А< 0, то в (5.9) получаем экспоненциально растущие члены, которые могут быть исключены только нулевыми значениями начальных ускорений, что, в таком случае, будет эквивалентно классическому движению. При А->+со решение (5.9) переходит в классическое свободное движение.