Исследование корректности и асимптотических свойств некоторых задач математической физики

• Автор: Гусев, Николай Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 135 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
ГЛАВА 1. Линеаризованные уравнения движения слабо сжимаемой среды
1.1 Линеаризация уравнений движения слабо сжимаемой среды
1.2 Обобщённая лемма Гронуолла
1.3 Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с суммируемыми коэффициентами
1.4 Обобщенные решения уравнения переноса
1.4.1 Постановка задачи Коши. Определение обобщённого решения
1.4.2 Регуляризация уравнения переноса
1.4.3 Допустимые функции и их свойства
1.4.4 Перенормировка уравнения переноса
1.4.5 Аналог энергетического равенства для уравнения переноса
1.4.6 Об уравнении переноса в ограниченной области
1.4.7 Об уравнении переноса на торе
1.5 Начально-краевая задача для линеаризованных
уравнений движения слабо сжимаемой среды
1.5.1 Постановка задачи
1.5.2 Свойства оператора А
1.5.3 Определение обобщённого решения
1.5.4 Существование обобщённого решения
1.5.5 Единственность обобщённого решения
1.5.6 Дополнительные оценки обобщённых решений
1.6 Начально-краевая задача для линеаризованных
уравнений движения несжимаемой жидкости

1.7 Динамика слабо сжимаемой среды при стремлении фактора сжимаемости к нулю
1.7.1 Сходимость поля скорости
1.7.2 Сходимость поля давления
1.7.3 Сравнение условий слабой и сильной сходимости
1.8 О динамике слабо сжимаемой среды на торе
ГЛАВА 2. Корректность волнового уравнения на не глобально гиперболическом многообразии
2.1 Постановка задачи
2.2 Скачки на разрезах
2.3 Классические и обобщённые решения
2.3.1 Решение уравнения (2.21)
2.3.2 Условия склейки
ГЛАВА 3. Уравнения фильтрации и закон Дарси
3.1 Свойства усреднения по Стеклову
3.2 Уравнения для микровеличин
3.3 Замыкание системы для макровеличин
3.4 Зависимость макровеличин от радиуса шара усреднения
3.5 Уравнения фильтрации и закон Дарси
3.5.1 Учёт силы Кориолиса
ГЛАВА 4. Асимптотические свойства градиента решения задачи Неймана
для уравнения Лапласа
4.1 Обозначения
4.2 Постановка задачи
4.3 Дифференциальные свойства решений
4.4 Доказательства основных теорем
4.4.1 О дифференциальных свойствах проекторов Лсрэ-Гельмгольца

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Некоторые сведения из анализа
АЛ Основные функциональные пространства
А.2 Свойства функций, продолженных нулём
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Функции, принимающие значение в банаховых пространствах
БЛ Пространства Лебега-Бохнера
Б.2 Регуляризация
Б.З Пространства Соболева
Б.4 Прочее
БИБЛИОГРАФИЯ
Публикации автора по теме диссертации

При е > 0 иЕ е @(Rd), поэтому (ß(uE))t = ß'(uE)uE:t, тогда для Vy> S 9(К х (О,Т))
[ [ ß(u£)(ptdx dt — — f f ß'{uE)uE)ip dx dt (1-34)
Уо УлГ Jö Jk
где 5 > 0 таково, что supp С К х (6,Т — 5). С учётом замечания
[ f (ß(u£) — ß(u))iptdx dt f f Сщ — u\iptdx dt —> 0 Jo Jk Jo Jk
при £ у 0 в силу (1.32). Далее, ß'(uE)u£t = ß'(ue){u£}t - щ) + ß'{uE)uu причём

I р р1 р
/ /З'(ие)(и£)1 - ut)pdx dt / / Си£ — ut\pdx dtО
Jк Js Jк
при е->0в силу (1.33). В силу (1.32) и непрерывности функции р
Р'(и£) —> /?;(и) п.в. па Д х (0,Т)
при £ —> 0. С учётом определения 1.3 ДЛЯ всех £ е (0,1) |/3'(це)г4{| С|и4|
п.в. на К х (О, Т), так что по теореме Лебега
рТ—8 р рТ—5 р
/ / р1 (ие)щ(р dx dt / / [З1 (и)щ1р dx dt
Js Jк Js Jк
при е —> 0. Итого, переходя к пределу при £ 0 в (1.34), получаем
/ / P(u)pdx dt = — / / 0(и)щ(р dx dt.
Уо Jк Js Jк
Для завершения доказательства формулы (1.31) остаётся воспользоваться предложением Б. 12 и леммой Дюбуа-Реймона.
Из замечания 1.4 видно, что при р Р I функция в отображает 17 (К) в ЬР(К), причём непрерывно, то есть /?() е С{Ц>{К)Ц’(К)). Поскольку производная функции р ограничена, 0(и)щ £ Ь1{К). Тогда из формулы (1.31) следует, что Р(и) € И/Г1,1(0, Г; Ь1(К)).
Пусть и £ (7(0, Т; ЬХ(К)) и р{и) 6 С(0, Т; Ь1(К)) — непрерывные версии функций и и Р{и) соответственно (см. замечание Б.1). Так как
ß(u) = ß{u) и и — и почти всюду на [0,Г], из непрерывности отображения
7 ЬР(К) -р- U°{K) следует, что ß(u)(t) = ß(u(t)) при t € [0,2"]. □