Расщепление сепаратрис и комплексная динамика

• Автор: Гельфрейх, Василий Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 264 с. : ил.

Содержание
1 Введение
1.1 Общая характеристика работы
1.2 Исторический комментарий. Обзор результатов
2 Расщепление сепаратрис для отображений, близких к
тождественному
2.1 Параметризация сепаратрис
2.2 Аппроксимация сепаратрис
2.3 Существование двоякоасимптотических траекторий
2.4 Величины, характеризующие расщепление сепаратрис
2.5 Локальное выпрямление отображения
2.6 Экспоненциальная малость расщепления
3 Асимптотические формулы для расщепления сепаратрис
3.1 Обобщенное стандартное отображение
3.2 «Стохастическая паутина»
3.3 Постоянная ©1
3.4 Основные этапы вывода формул для расщепления сепаратрис обобщенного стандартного отображения
3.5 Аппроксимация сепаратрис с помощью рекуррентной
системы дифференциальных уравнений
3.6 Сепаратрисы в окрестности особенности

4 Доказательство экспоненциально малой трансверсальности сепаратрис для стандартного отображения Чи-
рикова
4.1 Расщепление сепаратрис стандартного отображения
4.2 Формальная сепаратриса
4.3 Первая теорема об аппроксимации
4.4 Полустандартное отображение
4.5 Вторая теорема об аппроксимации
4.6 Сравнение устойчивого и неустойчивого многообразий
4.7 Аналитический интеграл и асимптотическая формула
для гомоклинического инварианта
4.8 Построение формальной сепаратрисы (предложение 4.4 )
4.9 Доказательство первой теоремы об аппроксимации
(предложение 4.5 )
4.10 Доказательство существования сепаратрис полустан-дартного отображения (Теорема 4.6 )
4.11 Доказательство теоремы 4.7 об экспоненциальной близости сепаратрис полустандартного отображения
4.12 Существование разложения, начинающегося с сепаратрисы полустандартного отображения (Предложение 4.8)
4.13 Доказательство второй теоремы об аппроксимации (предложение 4.9)
4.14 Существование второго решения уравнения в вариациях (предложение 4.10)
4.15 Построение ряда для расстояния между сепаратрисами стандартного отображения (предложение 4.11)
4.16 Доказательство теоремы об аналитическом интеграле
(теорема 4.13)

5 Аналитические инварианты конформных отображений
с точки зрения теории динамических систем
5.1 Аналитическая классификация Воронина
5.2 Построение обратных функций Абеля
5.3 Инвариантные слоения
5.4 Вычисление аналитических инвариантов
6 О применимости метода Мельникова к исследованию систем со слабым высокочастотным возмущением
6.1 Постановка задачи
6.2 Формулировка условий применимости метода Мельникова
6.3 Метод усреднений, устойчивость и периодические траектории
6.4 Инвариантные многообразия
6.5 Аналитическое выпрямление потока
6.6 Квалифицированная оценка сверху для расщепления сепаратрис
6.7 Завершение доказательства теоремы
6.8 Об аналитических свойствах функции Мельникова
7 Модельные системы в комплексном фазовом пространстве
7.1 Асимптотики для расщепления сепаратрис
7.2 Процедура сведения к модельной системе
7.3 Сепаратрисы модельных систем
7.4 Численные методы для корректирующего множителя
8 Расщепление сепаратрис для маятника с высокочастотным возмущением большой амплитуды
8.1 Асимптотика расщепления сепаратрис маятника

зависящим от параметра h (h — h(e)). Пусть это решение является аналитическим и равномерно ограниченным в прямоугольнике D С С. Предположим, что производная р(i; h) ограничена, ее первая компонента равномерно отделена от нуля в D, и существует такая постоянная т >0, что
||p(H;/i) - p(h;h)\ > mi|п - «21 , Vn,n e D
Последнее условие исключает возможность самопересечений соответствующей кривой.
Теорема 2.1 ([75]) Существуют постоянные /го,Д > 0 такие, что при h £ (0, Ьф) существует семейство решений уравнения
p(t + h,E; h) = Fs(p(t,Eh)) , (2.9)
такое, что p(t,Q;h) — p(t]h), замена переменных (t,E) ь-» р(t,E]h) является аналитическим диффеоморфизмом D х {Е £ С : Е < Д} на образ этого множества. Производные этого диффеоморфизма ограничены равномерно по h. Если отображение Fe сохраняет площадь, то параметр Е может, быть выбран так, чт.о отображение (t,E) р(i,E',h) также сохраняет площадь.
В дальнейшем в качестве р(t;h) мы будем использовать параметризацию сепаратрисы V’e (О- Требуемые свойства вытекают из ее близости к невозмущенной сепаратрисе.
Примечание 2.2 Доказательство проходит также в случае индивидуального диффеоморфизма, который в этом случае не обязательно должен быть близок к единице. Естественно, что условия равномерности по параметру в этом случае не имеют смысла.
Доказательство. Для краткости будем опускать явную зависимость функций от параметра /г. При этом все постоянные не зависят от /г. Будем искать решение уравнения (2.9) в виде
р(t,E) = р(<) + u(t,E)