Некоммутативные произведения функций и их операторные представления

• Автор: Григорьев, Олег Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 139 с.

Глава 1. Ассоциативное квантовое произведение
1.1 Уравнение для интегрального ядра квантового произведения
1.2 Начальные условия
1.3 Метод ВКБ
Глава 2. Квантование симметрических пространств
2.1 Симметрические пространства и квантовое произведение
2.1.1 Определение и свойства симметрических пространств
2.1.2 Фундаментальный гамильтониан и отображения симметрий
2.2. Квантование плоскости с нестандартной связностью
2.2.1 Плоскость с нестандартной связностью
2.2.2 Фундаментальный гамильтониан и симплектический группоид
2.2.3 Уравнение Гамильтона-Якоби для фазы интегрального ядра
2.2.4 Амплитуда квантового произведения (нециклический вариант)
2.2.5 Условие ассоциативности
2.2.6 Асимптотическое разложение
2.3 Квантование с помощью квантайзера
2.3.1 Квантайзер и квантовое произведение
2.3.2 Квантайзер для плоскости с нестандартной связностью
2.3.3 Свойства квантайзера
2.3.4 Плоскость Лобачевского
Глава 3. Квантование в ш-аффинных координатах
3.1 Вейлевское произведение и сд-аффинные координаты
3.1.1 Определение а>-аффинных координат
3.1.2 Построение оьаффинных координат
3.1.3 Свойства ш-аффинных координат
3.1.4 Регулярное представление для вейлевского произведения
3.2 Плоскость Лобачевского в цьаффинных координатах
3.2.1 Аффинные координаты для плоскости Лобачевского
3.2.2 Когерентные состояния и сингулярное уравнение Шредингсра
3.2.3 Квантайзер для плоскости Лобачевского
3.3 Симплектическая структура, зависящая от одной переменной
3.4 Квантование симплектической плоскости с особенностями
3.4.1 Определение и геометрические характеристики
3.4.2 Симплектический группоид
3.4.3 Фундаментальный гамильтониан и отображения симметрий
3.4.4 Ассоциативное квантовое произведение функций

3.4.5 Квантайзер и квантовое произведение
3.4.6 Свойства квантайзера
3.4.7 Геометрия и особенности фазы интегрального ядра
Заключение
Список литературы

Одной из важных задач современной математики и математической физики является задача квантования симплектических многообразий. В самом широком смысле под квантованием обычно понимается переход от классической системы к соответствующей квантовой. При этом требуется сформулировать квантовую теорию, для которой исходная классическая система будет пределом в некотором смысле. Однако, хорошо известно, что не каждая квантовая система имеет соответствующую ей разумную классическую систему и разные квантовые системы могут сводиться к одной и той же классической теории. На протяжении ряда лет теория квантования была включена в такие математические разделы, как дифференциальная и симплектическая геометрия, теория представлений, функциональный анализ и другие.
В настоящее время математические методы, используемые для решения задачи квантования, разделились на несколько направлений, таких как деформационное, геометрическое квантование, квантование Березина, асимптотическое квантование и т.д.
Исходная концепция квантования (которая теперь обычно называется каноническим квантованием) принадлежит Вейлю, фон Нейману и Дираку [61] [116] [152]. Она заключается в попытке сопоставить наблюдаемым классической механики, которые являются действительными функциями /(р,д) переменных (р, д) = (р рп, д1, ■ • •, дп) € К" х К” (фазовое пространство), самосопряженные операторы Qf на гильбертовом пространстве 1т2 (К") так, чтобы были выполнены соотношения
^1) соответствие / Iф/ линейно;
^2) СД = /, где 1 является единичной функцией, а I - единичным оператором;
^3) для любой функции ф : К —* К для которой определены (}ф0] и ф((ф^ выполнено Qфo^ — /)>
^4) операторы и I. соответствующие координатным функциям р^, д^ (у = 1 п) имеют вид;
- ъФ, Яю4’ - -т щ; для ф 6 С£°(кп). (о.1)
(Условие (цЗ) обычно называется правилом фон Неймана). Область определения отображения (? : / И- <5/ называется пространством квантовых наблюдаемых. В идеале хотелось бы, чтобы это пространство было достаточно большим (по крайней мере, содержало бы бесконечно дифференцируемые функции).
Теорема Стоуна и фон Неймана [116] утверждает, что с точностью до унитарной эквивалентности операторы (0.1) являются единственными операторами, действующими на гильбертовом пространстве Ь2 и удовлетворяющими условию неприводимости и коммутационным соотношениям
Юр]у Орк] — [Qяj> Яяк] — 0, [Яяк1 Фру] — 1^;*,/.
(0.2)
ГЛАВА 2. КВАНТОВАНИЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Доказательство. Используя формулы (2.11) и (2.12) перепишем сиеему уравнений перенося (1-20) в виді;
Оуг +іНф
Отсюда по условию получаем

Квантовое поднятие Я,*11 гамильтонианов с учетом (1.10) имеет вид
(*.;>) = -2іугПі (Єл (х,р) - Уі) /і! (ж,р) + 2І/І2 (ж,р)
4-#Ь+<(^р))>
2 V4 + ЯІ
Я$'(*,Р) = -2 ісП(£1(х,1,)-у1),п(х.р) + Н{"(Є(.г.,І)).
где / - главная часть символов операторов регулярного представления, /і - первая поправка (см. (1.5)). Условие ассоциативности (см. гл. 1) дает связь поправок к фундаментальному гамильтониану и поправок /< к операторам левого регулярного представления, соответствующего квантового произведению (см. (1.8)):
= 2-ЧН{у.Н^^))сН (с,-/;,). (2.30)
Я'!,1 (г) = НІ/, (гі - г/х) - 2гцг (у, Я^"1 (;)) . (2.31)
После подстановки получаем
„(і)

(х,р) = -2іу2вк ~ Уі -I- АтвИ (-у)) /‘1 (:с,р) + 2г>2 (ж,р)
г р2
"2 ■/4^Кр|
+ Шг (у - т/х + Лт-.ч/г (-у) ) - 2//т3 (у.Я*,"1 (^ (:/:./'))) •
Ну2(х<р) = -ЫсИ (х!-У! + АгзЬ Рі(х,р) +
+2І/І1 (у,я[,0) (£(ж,р))) с/і - У! + Агз/і (-у)) •
Отсюда