Решения квазилинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, имеющие пограничные и внутренние слои

• Автор: Омельченко, Олег Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 146 с.

Содержание
Введение

Краткое содержание работы

I Контрастные структуры типа ступеньки в одномерном квазилинейном параболическом уравнении

§1 Постановка задачи

§2 Построение асимптотического разложения

§3 Обоснование асимптотики методом барьерных функций

§4 Асимптотическая оценка для производной ди/дх

§5 Асимптотическая устойчивость и локальная единственность контрастной

структуры
§6 Пример
II Контрастные структуры типа ступеньки с дифференциальным уравнением для линии перехода
§1 Постановка задачи
§2 Построение асимптотического разложения
§3 Обоснование асимптотики методом барьерных функций
§4 Асимптотическая оценка для производной ди/дх
§5 Асимптотическая устойчивость и локальная единственность контрастной
структуры
§6 Пример
ШКонтрастные структуры типа ступеньки в двумерном квазилинейном эллиптическом уравнении в кольце
§1 Постановка задачи
§2 Построение асимптотического разложения
§3 Обоснование асимптотики методом барьерных функций
§4 Асимптотическая устойчивость и локальная единственность контрастной
структуры
§5 Пример
IV Погранслойные решения для одномерного квазилинейного интегро-дифференциального уравнения второго порядка
§1 Постановка задачи
§2 Построение асимптотического разложения
§3 Теорема о существовании погранслойных решений
§4 Асимптотическая оценка для производной и

§5 Асимптотическая устойчивость и локальная единственность погранслой-
ных решений
§6 Пример
Дополнение
§1 Основные обозначения и определения
§2 Вывод априорных оценок для Vu
§3 Эволюционное уравнение в банаховом пространстве
§4 Начально-краевая задача для параболического уравнения
§5 Теорема о существовании периодических решений для параболического
уравнения
§6 Краевая задача для эллиптического уравнения

Введение
Многие физические, химические [1], биологические [2] и социальные [3] системы, рассматриваемые современной наукой, описываются нелинейными сингулярно возмущенными дифференциальными и интегро-дифференциальными уравнениями, то есть уравнениями, содержащими малый параметр при старших производных. Нелинейный характер таких уравнений делает невозможным в подавляющем большинстве случаев их точное аналитическое решение. Вместе с тем, именно, он служит причиной возникновения многих интересных явлений, неизвестных линейному анализу. В такой ситуации весьма полезным оказывается факт наличия в сингулярно возмущенной задаче малого параметра, что позволяет при определенных условиях построить асимптотическое разложение ее решения и выявить тем самым как качественные, так и количественные закономерности его поведения.
На сегодняшний день в теории сингулярных возмущений разработаны многочисленные асимптотические методы. Наиболее известными из них являются метод пограничных функций [1], метод регуляризации [4], метод сращивания асимптотических разложений [5,6], методы типа ВКБ [7,8], метод релаксационных колебаний [9,10]. В этом ряду особо выделяется широтой своей области применения метод пограничных функций. Его развитый аппарат позволяет эффективно исследовать как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных.
В последнее время на базе этого метода активно ведутся исследования так называемых контрастных структур. Напомним, что контрастными структурами называются такие решения сингулярно возмущенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, которые быстро изменяются (в пределе, при малом параметре равном нулю — бесконечно быстро) в окрестности некоторой точки1 или кривой2, целиком лежащей внутри области, в которой рассматривается задача. Традиционно контрастные структуры подразделяют на два вида: контрастные структуры типа ступеньки и контрастные структуры типа всплеска. К первой категории относятся решения, которые вблизи точки (линии) перехода быстро изменяются от одного решения вырожденного уравнения3 к другому его решению. Ко второй категории относятся решения, которые в окрестности точки (линии) всплеска быстро отходят на конечную величину от решения вырожденного уравнения и сразу вслед за этим возвращаются к нему же.
В ряде работ последних лет (смотри списки литературы в обзорах [11,12]) исследовались вопросы существования и свойства контрастных структур типа ступеньки, возникающих в задачах для сингулярно возмущенных параболических уравнений типа
'Для одномерных задач.
2Для многомерных задач.
3Вырожденным называется уравнение, которое получается из исходного сингулярно возмущенного
уравнения, если в нем положить малый параметр равным нулю.

бесконечности формулируемая задача должна содержать еще два условия в точке согласования £а = 0. Одно из таких соотношений дает условие непрерывности барьера ап на кривой х = Ха(1,е). Другое же условие, вообще говоря, может быть выбрано произвольным. Ниже для простоты мы выберем его в виде дЦ,)„(0, ^) = 0. В итоге получим следующую задачу:
я2 /э(±)
= ^{^(±)(^.00&в(еа,*,е)} + я{йз)в(^)0,
“ <Э[:|з)о(0,0 = ~S.it, е), дЦ3)а(°> 0 = 0. (60)
<5(гг+3)ог(гЬ°°; —
Здесь
5а(0е) = £ (п+^{и^+2)а(Ха^,е)Н,е) А Еп+2[и^Ха{1,е),1) + 0,*)]—
- иЦ2)а(Ла(*> £)>*>£) -еп+2[и^_)(-^а(*,е),«) + го£-)(0,0]}-
Проведя разложение функции 5а в ряд Тейлора по степеням малого параметра е с учетом условий согласования из задач (16), (33) и (55), несложно убедиться, что £а = 0(1) при £ —> +0. Далее, в силу Леммы 3, построенные выше функции Щ^((аН) удовлетворяют экспоненциальной оценке при £а —> ±оо, поэтому такая же оценка имеет место и для функций й{п-1з)а(£а, !)■ Следовательно, на основании той же Леммы 3, задача (60) имеет единственное решение, которое может быть представлено в виде
<ЭЦз)а(^>^е) = 4-)(?ч><) при &<0,
= -За&е)гм({а,$ + 4+)(6»0 при ^>0,
где и —- не зависящие от £ функции, экспоненциально стремящи-
еся к нулю при (а —> ±оо вместе со своими частными производными по (а. Отсюда
автоматически следует, ЧТО Я[п.3)а(£аН,е) = 0(1) и —^|+3^° = 0(1) при £ —>■ +0. Таким образом, выше мы показали справедливость следующего утверждения:
Утверждение III Пусть А € Сп+3(Ш. х 12), В € С'И+2(К х 41), иа,щ Е Сп+2(М) и выполнены Требования (1)-(Ш), тогда всегда может быть построена функция ап вида (48), обладающая следующими свойствами:
ап(х,1,.) € О(П),
> ^ _ при +0, 81ёп[жа] = -^п[/'(Х0(*М)],
Т[ап) > £п+2[—1иа(х, 2)] + о(бп+2),
иа(хН) + гиа((а, V) < — тт иа(х, 2)|/2 < 0 У(жД) € П. п
12Приведенные в этой формуле функции *0^(4,4), вообще говоря, не совпадают с функциями из соотношений (58), имеющими аналогичное обозначение.