Некоторые вопросы теории алгебр Клиффорда, возникающие в теории поля

• Автор: Широков, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 151 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Некоторые свойства алгебр Клиффорда
1.1 Понятие алгебры Клиффорда с фиксированным базисом
1.2 Классификации элементов алгебр Клиффорда по рангам, четности и кватернионным типам
1.3 Операции сопряжения и взятия следа от элемента алгебры Клиффорда
1.4 Структура унитарного (евклидова) пространства на алгебре Клиффорда
1.5 Периодичность Картана-Ботта, матричные представления алгебр Клиффорда
1.6 Метод задания матричного представления алгебр Клиффорда с помощью эрмитова идемпотента и левого идеала
Глава 2. Техника сверток в алгебрах Клиффорда
2.1 Теорема о свертке элементов базиса фиксированного ранга
2.2 Свертки по всем элементам базиса
2.3 Свертки по четным или нечетным элементам базиса
2.4 Свертки по элементам базиса фиксированного кватернионного типа
2.5 Метод усреднения в теории представлений конечных групп
2.6 Теоремы о коммутировании элементов базиса алгебры Клиффорда
2.7 Второй базис в алгебре Клиффорда
2.8 Обобщенные свертки в алгебре Клиффорда
2.9 Обобщенные свертки по мультииндексам с четной и нечетной длиной
Глава 3. Обобщение теоремы Паули на случай вещественных и
комплексных алгебр Клиффорда
3.1 Теорема Паули в случае размерности
3.2 Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда четной размерности в общей постановке

3.3 Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда четной
размерности в случае наборов нечетных элементов
3.4 Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда нечетной размерности в случае наборов нечетных элементов
3.5 Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда нечетной размерности в общей постановке
3.6 Обобщенная теорема Паули в терминах матриц
3.7 Локальная обобщенная теорема Паули
3.8 Обобщенная теорема Паули и след от элемента алгебры Клиффорда
3.9 Обобщенная теорема Паули и определитель от элемента алгебры
Клиффорда
Глава 4. Применение обобщенной теоремы Паули при описании
связи спинорных и ортогональных групп
4.1 Псевдоортогональная группа и ее подгруппы
4.2 Применение обобщенной теоремы Паули для изучения группы
Липшица и группы Клиффорда
4.3 Спинорные группы как подгруппы группы Липшица
4.4 Теоремы о норме элементов спинорных групп
4.5 Сюръективные отображения спинорных групп на ортогональные .
4.6 Двулистные накрытия ортогональных групп спинорными, связность и односвязность спинорных групп
4.7 Вычисление элементов спинорных групп по элементам ортогональных групп
Глава 5. Применение обобщенной теоремы Паули при изучении
«.-мерного уравнения Дирака и описании п-мерных спиноров
5.1 п-мерное уравнение Дирака в матричном формализме и в формализме алгебр Клиффорда
5.2 Спиноры Дирака в формализме алгебр Клиффорда
5.3 Инвариантность уравнения Дирака при ортогональных преобразованиях
5.4 Спиноры Вейля в формализме алгебр Клиффорда
5.5 Согласованность матричных операций и операций в алгебрах
Клиффорда
5.6 Дополнительные сигнатуры алгебры Клиффорда
5.7 Обобщение дираковского сопряжения
5.8 Обобщение майорановского сопряжения и теорема о дополнительной сигнатуре алгебры Клиффорда
5.9 Обобщение зарядового сопряжение, спиноры Майорана и Майорана-
Вейля в формализме алгебр Клиффорда
Список литературы

Введение
Актуальность темы.
В настоящее время алгебры Клиффорда [17] активно используются во многих разделах математической физики. Алгебры Клиффорда применяются в теории поля, робототехнике, обработке сигналов и изображений, механике, космической динамике, электродинамике, геометрии, химии. Алгебры Клиффорда претендуют на роль некоторого универсального математического аппарата для математической физики [30], [29].
В науке разработан ряд математических понятий и моделей, которые широко используются в геометрии и физике: комплексные числа, кватернионы, векторная алгебра, матричная алгебра, тензорная алгебра, алгебра дифференциальных форм.
Каждая из этих моделей имеет прямую связь с алгебрами Клиффорда. Например, комплексные числа и кватернионы являются частными случаями вещественной алгебры Клиффорда 0®(р, д) (имеют место изоморфизмы алгебр О!к(0,1) ~ С и (3®(0,2) ~ Н). Алгебры Клиффорда в случае разных сигнатур изоморфны различным матричным алгебрам над полем вещественных чисел, комплексных чисел, либо над телом кватернионов. Внешняя алгебра (или алгебра Грассмана) является вырожденным случаем алгебры Клиффорда (ей соответствует нулевая квадратичная форма). Кроме того, рассматривается обобщение алгебр Клиффорда - алгебры Атьи-Келера [31], [33], которые являются также и обобщением алгебры дифференциальных форм. Таким образом, алгебры Клиффорда представляются содержательным алгебраическим объектом, который может быть полезен в различных областях математической физики.
Обсудим подробнее развитие теории алгебры Клиффорда. В 1843 году Гамильтоном [28] были введены кватернионы, которые сразу же нашли применение в различных областях механики и физики. В 1844 году Грассман [27] ввел понятие внешней алгебры. В 1878 год}' Клиффорд объединил в своих исследованиях идеи Гамильтона и Грассмана и рассмотрел новые объекты - Геометрические алгебры, которые впоследствии стали называться алгебрами Клиффорда. В 1880-1886 алгебры Клиффорда были независимо переоткрыты Рудольфом Липшицем [37]. Липшиц также нашел первое применение алгебры Клиффорда в геометрии, описав вращения в евклидовом пространстве при помощи епинор-ной группы. Дальнейшее развитие алгебр Клиффорда связано с целым рядом

Глава 2 Техника сверток в алгебрах Клиффорда
Будем рассматривать элементы алгебры Клиффорда С£г(р, д), которые представляют из себя усреднения по различным наборам элементов базиса
5~^еАиеА,

где ведется суммирование по всевозможным мультииндексам А произвольной длины от 0 до п. Также будем рассматривать подобные выражения, где ведется суммирование только по части мультииндексов. Для краткости будем называть подобные выражения свертками.
Также рассмотрим обобщение этого понятия, а именно выражения вида

где элементы 7^ и генерируются различными наборами элементов 70 и /За, удовлетворяющих определяющим соотношениям алгебры Клиффорда. Будем называть подобные выражения обобщенными свертками.
Техника сверток и обобщенных сверток позволила получить обобщения так называемой фундаментальной теоремы Паули. Об этом пойдет речь в следующей главе.
Примем некоторые соглашения по поводу обозначений, используемых в этой и последующих главах. Далее не будем делать разницы между различными записями элементов матрицы структурных констант г/аЬ — г/а(, Опускаем индексы у генераторов с помощью элементов матрицы
ео Va.bC
где подразумевается суммирование по индексу Ь, пробегающему значения от 1 до п. Отметим, что
еа = (еТ еа = (еаУ■
Введем также следующее обозначение
еа> ак = (еа1 аь)“1 = Г/а1г>1 . Л)акЬкеЬк . . в6' = Рак . . еа1 = {в“