Некоторые вопросы динамики и управления квантовыми системами

• Автор: Печень, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 194 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1 Предел малой плотности и свободная статистика

1.1 Модель квантовой частицы в квантовом газе

1.2 Корреляционные функции в пределе малой плотности

1.3 Нетривиальные в пределе малой плотности диаграммы

1.4 Операторы квантового белого шума со свободной статистикой

1.5 Независимость и обобщенная пуассонова статистика в пределе

малой плотности

1.6 Операторное представление предельных корреляционных функций

Глава 2 Некогерентное управление, использующее резервуар
2.1 Когерентное управление
2.2 Терминальные задачи квантового управления
2.3 Некогерентное управление
2.4 Управляемость и универсально-оптимальные управления
2.5 Управление, использующее некогерентное излучение
2.6 Управление, использующее квантовый газ
2.7 Схема создания произвольных квантовых состояний
2.8 Пример: создание смешанного состояния атома кальция
Глава 3 Некогерентное управление, использующее квантовые
измерения
3.1 Неселективные квантовые измерения в управлении
3.2 Оптимальное управление в двухуровневой системе
3.2.1 Оптимальные измерения
3.2.2 Оптимальный перенос населённости
3.2.3 Связь с динамическим эффектом Зенона
3.3 Перенос населенности в системе с динамической симметрией
3.4 Об экспериментальной реализации квантовых измерений

Глава 4 Ландшафты управления для замкнутых квантовых
систем
4.1 Основные понятия
4.2 Градиент и гессиан целевого функционала
4.3 Отсутствие ловушек для регулярных управлений
4.4 Отсутствие ловушек для двухуровневой системы Ландау-Зинера .
4.5 Влияние шумов на свойства ландшафта
4.6 Ловушки второго порядка для систем с числом уровней п > 3 . .
4.7 Ловушки второго порядка для трехуровневой Л-системы
4.8 Отсутствие ловушек для задачи управления коэффициентом
прохождения частицы через барьер
Глава 5 Ландшафты управления для открытых квантовых
систем
5.1 Кинематическое представление
5.1.1 Представление отображений Крауса матрицами Крауса . .
5.1.2 Представление отображений Крауса унитарными отображениями в расширенном пространстве
5.2 Критические точки То для двухуровневой системы
5.3 Критические точки То для п-уровневых систем
5.4 Универсальный анализ кинематических ландшафтов для
классических и квантовых открытых систем
5.4.1 Ландшафты управления для классических систем
5.4.2 Ландшафты управления для квантовых систем
5.4.3 Универсальный анализ кинематических ландшафтов
Заключение
Литература

Введение
В настоящее время как самостоятельно, так и в связи с различными приложениями большой интерес привлекают такие области математической физики, как математические вопросы динамики и управления квантовыми системами. Часто возникают задачи, связанные с изучением открытых квантовых систем, то есть квантовых систем, взаимодействующих с резервуаром (окружением). Примерами открытых квантовых систем являются атом, молекула, или наночастица, взаимодействующие с излучением либо квантовым газом, химические реагенты в растворе, электрон в квантовой точке в окружении ядерных спинов. Изучение динамики открытых квантовых систем имеет большое значение для исследования вопросов декогеренции, в том числе столкновительной декогерен-ции частицы в квантовом газе, стремления квантовых систем к равновесию, проблемы квантового измерения, проблемы необратимости (парадокса Лош-мидта), изучения поведения атомов либо молекул в лазерном поле, вычисления транспортных коэффициентов. Изучение вопросов управления важно для оптимального контроля химических реакций, в квантовой оптике, квантовой информации, квантовых вычислениях.
Важной задачей в динамике открытых квантовых систем является вывод из точных уравнений Шредингера и Гейзенберга мастер-уравнений для редуцированной, то есть усреднённой по состоянию резервуара, динамики системы. Точные мастер-уравнения включают эффекты памяти и как правило являются сложными для практического изучения. Однако в некоторых физически важных режимах решения точных уравнений аппроксимируются решениями значительно более простых марковских мастер-уравнений. Такими режимами являются режимы слабой связи и малой плотности. В первом случае взаимодействие между системой и резервуаром является слабым, во втором — мала плотность числа частиц резервуара, в то время как взаимодействие может быть сильным. В обоих случаях упрощенное описание возникает на больших временах t, соответствующих кинетическому этапу эволюции. Формально пределы слабой связи и малой плотности определяются как Л —> 0, t —> +00, АН = const

1.2 Корреляционные функции в пределе малой плотности
В данном разделе строится класс некоммутативных вероятностных пространств, необходимых для дальнейшего исследования предела малой плотности. Используется формализм ^-вероятностных пространств [62, 15]. В качестве физического примера обсуждается связь построенного класса некоммутативных вероятностных пространств с моделью, описывающей взаимодействие частицы с разреженным квантовым газом.
Определение 1.1. ^-вероятностным пространством называется пара (Л, д), где Л есть *-алгебра (с единицей ел) над С и д : Л —> С есть состояние, то есть линейный, нормированный (так что д(ел) = 1) и строго положительный функционал.
Пусть есть (одночастичное) гильбертово пространство с внутренним произведением (•, •), {5фек — однопараметрическая унитарная группа вТД (называемая одночастичной свободной эволюцией), п — ограниченный положительный оператор в (оператор плотности), такой что Ш £ К, S-tnSt = п и Г2 — конечное либо счетное множество вещественных чисел.
Обозначим через Г8уш(?Д) симметричное пространство Фока над гильбертовым пространством 'Н. Для любого самосопряженного оператора Т, действующего в Нг, обозначим через N(T) = <1Г(Г) его вторичное квантование в Гвупф'Нх) (см. [13]) и распространим это определение по линейности на множество всех операторов с конечным следом Т{%). Определим для любых Т £ Т{4), оо £ 12 и е > 0 следующий оператор в ГвутС^):
р-Кш/е
Мт,.Л) ■= ЛГ(%Т5_,/е) (1.7)
Пусть Ь(Щ = Р) 6К1/(К), где 1/(Ж) есть пространство функций, интегрируемых с р-й степенью на К. Для любого открытого множества Л С К обозначим через Ь{А) множество функций из Ь(Ж) с носителем в Л. Обозначим Д,е — *-алгебру, индуцированную операторами
Нт*,Ач>) := J сЩ>$)МТрл(Ь)