Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса и интегрируемые гамильтоновы системы

• Автор: Головко, Валентина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 189 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Основные понятия из геометрии дифференциальных уравнений

1.1 Геометрические структуры на пространстве бесконечных джетов

1.2 Дифференциальные уравнения, симметрии и законы сохранения

2 Скобка Якоби для теней симметрий

2.1 Основные понятия

2.1.1 Накрытия

2.2 Основные конструкции и результаты

2.2.1 ^-накрытие

2.2.2 Скобка Ли для теней

3 Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса
3.1 Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса на
3.1.1 Вариационные формы и мультивекторы
3.1.2 Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса .
3.2 Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса на эволюционных уравнениях
3.2.1 Гамильтоновы эволюционные уравнения
3.2.2 Инвариантные структуры Пуассона-Нийенхейса .
3.2.3 Суперрасслоения
3.2.4 Операторы в А-накрытии
3.2.5 Обобщение скобки Схоутена для теней в ^‘-накрытии
3.2.6 Обобщение скобки Нийенхейса для теней в /’накрытии
3.2.7 Условие совместности
3.3 Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса в общем
случае
3.4 Нелокальные структуры Пуассона-Нийенхейса
3.4.1 Общая конструкция
3.4.2 Случай эволюционных уравнений
3.4.3 Пример: бездисперсионное уравнение типа Бусси-неска
4 Уравнение Камассы—Холма
4.1 Схема вычислений
4.2 Часть I. Уравнение Камассы-Холма в форме системы . .
4.2.1 Нелокальные переменные
4.2.2 Симметрии
4.2.3 Косимметрии
4.3 Операторы в А-накрытии
4.3.1 Нелокальные формы
4.3.2 Операторы рекурсии для симметрий
4.3.3 Симплектические структуры
4.4 Операторы в ^*-накрытии
4.4.1 Нелокальные векторы
4.4.2 Гамильтоновы структуры
4.4.3 Операторы рекурсии для коеимметрий
4.5 Алгебраические соотношения
4.5.1 Распределение симметрий и коеимметрий по градуировкам
4.5.2 Упрощенная схема построения симметрий и косим-метрий
4.5.3 Коммутаторы симметрий и теней симметрий . . .

4.5.4 Действия операторов R и Н
4.5.5 Композиции операторов
4.5.6 Доказательство локальности иерархий симметрий
4.6 Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса на уравнении Камассы—Холма
4.6.1 Бигамильтоновость операторов Я_з и Н-ч
4.6.2 Нийенхейсовость оператора R
4.6.3 Условие совместности операторов й_2 и i?:i
4.7 Часть II. Уравнение Камассы-Холма в скалярной форме 145 ,
4.7.1 Нелокальные переменные
4.7.2 Симметрии
4.7.3 Косимметрии
4.8 Операторы в f-накрытии
4.8.1 Нелокальные формы
4.8.2 Операторы рекурсии для симметрий
4.8.3 Симплектические операторы
4.9 Операторы в С-накрытии
4.9.1 Нелокальные векторы
4.9.2 Гамильтоновы структуры
4.9.3 Операторы рекурсии для косимметрий
4.10 Сводная таблица соответствия результатов частей I и II .
Заключение
Приложение 1: основные обозначения
Приложение 2: уравнение Камассы-Холма
Список литературы

тидифференциалъным оператором (степени к), если оно является с€-дифференциальным оператором по каждому аргументу.
Сопряженный оператор к ^-дифференциальному оператору А: Р —> <5 обозначается через А*: <5 —> Р, где Р — Нот^г(я.)(Р, Лп(7г)). В локальных координатах,
Е(-і)нд,°
где аан Є ^(п), и Ат = А, °
■ о Ак| Для <
Ъ!„ |.
Для любого оператора А Є сСІ)іїі(Р, С) и любых р Є Р, д Є О справедлива формула, Грина:
(А(р), д) - (р, А*(д)) = <АМ(Д),
где сор>д(А) Є Лга-1(7г) — некоторая горизонтальная (п — 1)-форма, а скобками ( , ) обозначено естественное спаривание между модулем и модулем, сопряженным к нему.
Вертикальное относительно проекции векторное поле X называется эволюционным, если оно сохраняет распределение Картана. Это означает, что выполняются равенства
[X, А] = О,
і — 1,... ,п.
Алгебра Ли эволюционных векторных полей обозначается через к{гг). Существует естественное взаимно-однозначное соответствие между яг(-7г) и множеством сечений расслоения 7г^(7г). Таким образом, пространство х(7г) снабжено структурой & (тг)-модуля.
В локальных координатах эволюционное векторное поле, соответствующее вектор-функции, именуемой также производящим сечением, Ч> = ОЛ ■ • •, <Рт) € Г(тг^(тг)), имеет вид

= А(^)

Структуру алгебры Ли на пространстве н(тг) задает так называемая (высшая) скобка Якоби, которая определяется как единственное сечение