Отсутствие собственных значений в спектре некоторых операторов Шрёдингера с периодическими коэффициентами

• Автор: Качковский, Илья Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 127 с.

Оглавление
Введение
Операторы Шрёдингера с периодическими потенциалами
Обзор известных результатов об абсолютной непрерывности спектра
Схема Томаса
Основные результаты
Оператор Максвелла
Открытые вопросы
Структура работы
1 Схема Томаса доказательства абсолютной непрерывности спектра
1.1 Вспомогательные результаты
1.1.1 Секториальпые операторы и формы
1.1.2 Голоморфные семейства операторов и форм
1.1.3 Прямой интеграл гильбертовых пространств
1.2 Схема Томаса для оператора Шрёдингера
1.2.1 Определение оператора Шрёдингера
1.2.2 Разложение в прямой интеграл
1.2.3 Критерий Томаса
2 Оценки сужений спектральных проекторов оператора Лапласа
2.1 Формулировка результата
2.2 Вспомогательные утверждения
2.2.1 Метод стационарной фазы
2.2.2 Интегральные операторы в М."1
2.3 Основная оценка
2.4 Доказательство теоремы 2.1.

3 Случаи всего пространства, слоя и прямоугольного цилиндра
3.1 Формулировка результата
3.2 Оператор с периодическими краевыми условиями
3.3 Доказательство предложения 3.2.3
3.4 Доказательство теоремы 3.1.
4 Случай электрического потенциала в цилиндрах с сечением общего вида
4.1 Введение
4.2 Доказательство теоремы 4.1.
4.2.1 Вложение РотН0(т)1/2 С Ап 2

4.2.2 Доказательство леммы 4.2.
4.3 Доказательство теоремы 4.1.
4.3.1 Оценки спектральных проекторов в Ьч
4.3.2 Доказательство теоремы 4.1.
5 Оператор Шрёдингера в круговом цилиндре
5.1 Дифференциальные формы на к-мерном шаре
5.2 Оператор Лапласа в Ь2(Ар(и))
5.2.1 Примеры
5.3 Формулировка результата
5.4 Трехмерный случай
5.5 Нули функций Бесселя
5.6 Спектр операторов —Да и —Дг
5.7 Оценки следов собственных р-форм
5.8 Леммы
5.9 Доказательство теоремы 5.3.
Литература

Введение
Операторы Шрёдингера с периодическими потенциалами
Работа посвящена исследованию спектра периодических операторов Шрёдингера. Простейшим примером является оператор
- некоторый базис в Кгі. Точное определение оператора дано в
Оператор (1) является простейшей моделью физики твердого тела, описывающей поведение электрона в периодическом электрическом потенциале V. Эта модель, по-видимому, впервые была рассмотрена Феликсом Блохом в 1929 году в [8]. Он обнаружил, что уравнение Ни = Ей имеет решения вида
где £ принадлежит элементарной ячейке двойственной решетки, а и„Дж) — Г-периодические собственные функции некоторого вспомогательного оператора. Более подробно см., например, [2, Глава 8].
Математически строгая спектральная теория оператора Н была построена в [1], см. также [47, 29]. Оператор Н унитарно эквивалентен прямому интегралу
11 = -Д + Ц(.г)
В где V периодичен относительно некоторой решетки

§1.2.1.
Нег{Мип^(х) = Е(п,^)ег{мип4 (х),

Условие А(уі). Пусть 2 ^ дг < со. Для любого £' Є Г2' существует То > 0, такое что при т > т
|||#о((тг/|Ьі| +Іт)Ьі +£')| 1/2и||/,91(!7х1і;С") ^ Сі ||щ]| /,3([/х«іЄЛ) (1-2.21)
равномерно пои Є Д2(П X Я; СД).
Условие В(д2). Пусть 2 ^ д2 < оо. Для любого Є 12' существует т0 > 0, такое что при т > тд
IIІ^о((тг/|6і[ + /т)Ьі + £')| 1^2«.|и,2(і;п(С7хП);СЛ') ^ ОгІМІіа^хвд:''') (1-2.22)
равномерно по и Є Ь2(Д х 12; С^), а также.
|||Яо((тг/|6і| + Іт)Ьі + £')| 2//2иІк2(ап(их!1);С^) ^ 1хз(т)||м||і2((;хП;СЛ')
(1.2.23)
равномерно по и Є ГДи X 12;С'У), где Сз(т) -5- 0 при т —> +оо.
Следующая теорема является основным результатом данной главы.
Теорема 1.2.4. Пусть оператор Н задай секториалъной формой (1.2.4) с V и а, удовлетворящими
V Є ірі,іос(5; Мдг(С)), рі ^ й/2, ст Є Д,2)і0С(Е; МК(С)), р-2 ^ д - 1.
Предположим, что семейство операторов Яо(£), заданных формами (1.2.15), удовлетворяет условиям А(сд) и В(172) с
2 ^91 ^ ^2’ '?і = 2р,<-
Тогда у оператора Н нет собственных значений. Если V(х, у) = V (ж. і/)* , (т{х,у) — о(х,у)*, то спектр оператора Л абсолютно непрерывен.
Для доказательства теоремы 1.2.4 нам понадобится
Лемма 1.2.5. Пусть выполнены условия теорем.ы 1.2.4■ Тогда для любых А Є С, £' Є 12', £' _1_ Ь]_, существует такое т > 0, что
А ф а(Н((тг/Ьі +іт)Ьі + £')), Уг > г,.
Доказательство. Ясно, что условия леммы инвариантны относительно растяжения по переменным у. Поэтому для простоты будем считать ЇМ = 1. Операторы Я(£), Яо(0 при £ = (л + гт)&! + £' будем для краткости обозначать через Я(г), Я0(т) (допуская, тем самым, некоторую