Исследование разрушения в задачах гидродинамического типа

• Автор: Юшков, Егор Владиславович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 189 с. : ил.

Содержание
1 Модели гидродинамического типа
1.1 Векторные модели гидродинамического типа
1.2 Скалярные модели гидродинамического типа
2 Разрушение в векторных задачах гидродинамического тина
2.1 Разрушение в системах уравнений со степенными источниками
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Существование слабого обобщенного решения задачи
2.1.3 Разрушение решения и глобальная разрешимость
2.2 Разрушение в нелокальных системах уравнений
2.2.1 Постановка задачи
2.2.2 Существование слабого обобщенного решения задачи
2.2.3 Единственность слабого обобщенного решения задачи и вопрос гладкости
2.2.4 Разрушение слабого обобщенного решения
2.3 Разрушение в системах уравнений с сингулярными источниками
2.3.1 Постановка задачи
2.3.2 Существование и разрушение решения задачи типа Осколкова в ограниченной области
2.3.3 Разрушение решения задачи Эйлера в ограниченной области
2.3.4 Задача Эйлера в неограниченной области
2.4 Разрушение в системах уравнений с нелинейной вязкостью
2.4.1 Постановка задачи
2.4.2 Единственность и локальная разрешимость
2.4.3 Разрушение решения и глобальная разрешимость
3 Метод нелинейной емкости для систем гидродинамического типа
3.1 Разрушение в системах уравнений мелкой воды
3.1.1 Постановка задачи
3.1.2 Разрушение в системах мелкой воды
3.1.3 Разрушение в системах с вязкостью
3.1.4 Разрушение в баротропных моделях газовой динамики
3.2 Разрушение в системах типа Навье-Стокса
3.2.1 Постановка задачи
3.2.2 Разрушение в модельной задаче в параллелепипеде
3.2.3 Разрушение в задаче Навье-Стокса в цилиндре
4 Разрушение в скалярных задачах гидродинамического типа
4.1 Разрушении в системах типа Кортвега-де Фриза
4.1.1 Постановка задачи
4.1.2 Обобщенная система КдФ
4.1.3 Симметричная система КдФ-КдФ
4.1.4 Уравнение КдФ пятого порядка
4.1.5 Несимметричная система КдФ-КдФ
4.2 Разрушение в средах с диссипацией
4.2.1 Постановка задачи
4.2.2 Разрушение решения уравнения Бюргсрса
4.2.3 Разрушение решения уравнения КдФ-Бюргерса
4.2.4 Разрушение в модифицированном КдФ-Бюргерсе
4.2.5 Разрушение в неограниченных областях
4.3 Разрушение в уравнениях типа Кадомцева-Петвиашвили и Захарова-Кузпецова123
4.3.1 Постановка задачи
4.3.2 Уравнение Кадомцева-Петвиашвили
4.3.3 Уравнение Кадомцева-Петвиашвили-ББМ
4.3.4 Уравнение Линя-Рейснера-Цзяня
4.3.5 Уравнение Захарова-Кузнецова
4.3.6 Уравнение Островского
4.4 Локальная разрешимость и разрушение в уравнениях Бенжамена-Бона Махони-Бюргерса, Розенау-Бюргерса и Кортвега-де Фриза Бенжамена-Бона-Махони
4.4.1 Постановка задачи
4.4.2 Разрушение решения уравнения ББМБ
4.4.3 Разрушение в уравнении Розенау-Бюргерса
4.4.4 Разрушение решения уравнения Кортевега де Фриза-Бенджамена-Бона-
Махони
5 Заключение
6 Приложение. Определения и используемые теоремы
6.1 Две эквивалентные формулировки слабого решения
6.2 О системе Галеркина
6.3 Основное интегро-дифференциальное неравенство

Введение
Диссертационная работа посвящена математическому исследованию вопроса о неограниченном росте за конечное время решений начально-краевых задач гидродинамического типа для уравнений, содержащих нелинейные слагаемые (u, V)u или (иих). Феномен неограниченного роста решений за конечное время, называемый разрушением (blow-up), характеризует временное ограничение корректности используемых моделей и описывает широкий круг явлений как в гидродинамике, так и в других областях физики - ударные волны, уединенные волны аномальной амплитуды, пробои в полупроводниках, неустойчивость в плазме, слом конструкций.
В работе исследуется появление разрушения в нелинейных моделях идеальной жидкости, вязкой ньютоновской жидкости, вязкоупругой неныотоновской жидкости Кельвина-Фойгта. Для рассматриваемых задач методом конечномерной аппроксимации Галеркина решаются вопросы локальной разрешимости, гладкости и единственности. С помощью модификации энергетического метода X. Левина вычисляются достаточные условия разрушения решений, строятся двухсторонние оценки на время и скорость разрушения, демонстрируется переход к глобальной разрешимости при изменении начальных данных.
Для одномерных приближений задач гидродинамки, приводящих к нелинейным уравнениям Кортвега-де Фриза, КдФ-Вюргерса, Беижамена-Бона-Махони, Розенау-Бюргерса, Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова, Хохлова-Заболоцкой, Линя-Рейснера-Цзяня, Островского, доказывается наличие разрушения при определенных граничных и начальных условиях. С помощью метода нелинейной емкости, развитого в работах С.И. Похожасва и X. Митидиери, исследуется влияние граничных условий на возникновение разрушения, время разрушения и его скорость.
Современное состояние проблемы и актуальность ее исследования Изучение движения жидкостей является источником большого числа математических задач. Однако, при попытках изучения даже самых простых теоретических моделей возникают проблемы, многие из которых не удается решить до сих пор. К примеру, пока остаются открытыми вопросы глобальной по времени разрешимости начально-краевых задач для классических систем уравнений Эйлера и Навье-Стокса при гладких начальных данных.
Значительного прорыва в изучении разрешимости удалось достичь во второй половине XX века с применением обобщенной постановки начально-краевых задач и использованием равенства соответствующих функционалов. Многие вопросы теории обобщенных решений для задач гидродинамики, а также первые функциональные методы их исследования были предложены и изучены в работах выдающихся математиков: Ж. Лере, O.A. Ладыженской, Ю. Шаудера, С.Л. Соболева и Р. Темама. Обычно переход от классической постановки к обобщенной обусловлен тем, что существование, а иногда и единственность, обобщенного решения доказывать значительно проще с помощью идей функционального анализа и теории вложения функциональных пространств. Например, O.A. Ладыженской удалось получить наиболее полные и математически строгие результаты по разрешимости начально-краевых задач для стационарных и нестационарных уравнений Навье-Стокса в некоторых областях фиксированной формы в классе функций с конечным интегралом Дирихле, что стимулировало в последующие годы исследование течений в областях со свободными границами, развитие теории устойчивости и бифуркации вязких жидкостей, исследование задач статистической гидромеханики и гидромеханики неньютоновских жидкостей. Но несмотря на всестороннее изучение эволюционных задач гидродинамики в этом направлении, доказать общую глобальную во времени разрешимости так и не удалось.

Из (77), с учетом того что Z'm < 0, следует неравенство
Zm{t) < Z,-п(0) — Л1т1, (78)
Стало быть, найдется такой момент времени То,т £ (0, ЛФ1], что
lim sup$m(t) = +оо.
ПТ0,т
Теперь переходим к пределу при тп —► +оо, из (65) следует, что это возможно.
Пусть теперь qi < 2. Справедливо следующее неравенство
||um||4 < | J umq,+2dx J (jun6dx . (79)
Используя вложение пространства L6(fi) С Нд(И) и (67), получаем
№+2 < qi + 2ф (t
91+2 ~ IKIle < 8C6A(t)- (80)
Подставляя (80) в (79), получаем неравенство
ujß < КФ£" , (81)
Д— г-q, РУ-чИ __ Й4—171 п Т/Щ О,
/ 2 4-м?]~ 2~9l
где К = 91 84_ лучаем
ФтФ"-а2(Фт)2 + /32Ф + 72Ф1 >0, (82)

<72 + 2 2 °2 —
<71 + 2 у Ц2 + 2 у тр + 2 е 2е Опять потребуем от £ 6 (0, 2д7+з)’ тогда «2 > 1 и делаем замену Zm = Ф,-“2 и неравенство (82) примнимает следующий вид

Z'm + /32Zm + 72Z > 0. (83)

= ->-1,

что, как можно заметить, выполненно при е е (0, ) и ?2 > ГТ' ро~
ме того, мы потребуем условие на начальные данные Ф'0 > 0, тогда в силу непрерывной дифференцируемости Zm приходим к выводу, что существует такой интервал [0,Тт], принадлежащий области определения Фт, что = (1 — аФДФ < 0. Из (80) получаем
(г'ту > (а2 -1 )02г1 + + А* (84)
1 “Г Л2