Методы оценивания погрешности решения некорректных задач на компактах в банаховых решетках

• Автор: Королев, Юрий Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Существующие методы оценки погрешности приближенных решений некорректных задач
1.1 Оценка погрешности на компактных множествах
1.2 Оценка погрешности для истокопредставимых решений
1.3 Схема апостериорной оценки погрешности A.C. Леонова
1.4 Задача нахождения коэффициента в параболическом уравнении - пример из теории ценообразования опционов Блэка-Шоулза
1.4.1 Постановка задачи
1.4.2 Решение прямой задачи
1.4.3 Обратная задача
1.4.4 Пример
2 Обратные задачи на компактах в банаховых решетках
2.1 Введение. Некоторые сведения о векторных решетках
2.2 Постановка обратных задач в банаховых решетках. Сходимость приближенных решений
2.3 О вычислении оценки погрешности на введенном множестве приближенных решений
2.4 Нижняя и верхняя оценки приближенного решения
2.5 Пример
3 Задача об определении толщины ледяного щита
3.1 Введение
3.2 Вычисление нижнего и верхнего операторов
3.3 Численный эксперимент
4 Задача о восстановлении параметров намагниченности корабля
4.1 Постановка задачи

4.2 Вычисление верхнего и нижнего операторов
4.3 Программная реализация
4.4 Пример расчета
Заключение
Список литературы
Введение

Актуальность темы Многие практически важные задачи могут быть записаны в виде операторного уравнения
Аг = и, (0.1)
где z£Z,uEU,A:ZU - линейный ограниченный инъективный оператор, Z и I/ - линейные нормированные пространства. Согласно определению, данному Ж. Адамаром [1], задача (0.1) называется корректно поставленной, если для любый входных данных А, и из некоторого класса ее решение существует, единственно, и малые изменения в правой части и и операторе А влекут малые изменения в решении.
Многие практически важные задачи не являются корректно поставленными, в частности, зачастую решение не зависит непрерывно от входных данных задачи. Для решения таких задач нельзя применять стандартные методы, и в середине XX века стали разрабатываться специальные методы. Основополагающими работами по теории некорректно поставленных задач являются работы А.Н. Тихонова [2-7], В.К. Иванова [8-11], М.М. Лаврентьева [12,13]. Теория некоректных задач активно развивалась и развивается как в нашей стране, так и за рубежом. Некоторые результаты представлены в [14-43].
Впервые подход к решению некорректных задач был предложен академиком А.Н. Тихоновым в работах [2, 3] и основывается на понятии регуляризующего алгоритма. Предположим, что вместо точных входных данных (А, и), А 6 Ь(2,и) нам известны лишь приближенные данные Аь € Ь,и), а также мера близости приближенных и
точных данных И 0 и 5 > 0: \Ah~ А\ Л, ||«$ — и|| 6. Обозначим вектор погрешностей входных данных у = (/г, 5). Обозначим через г точное решение задачи (0.1)

а элемент |ie | = x+ + X- - его модулем. Для любого х верно равенство X — х+
Множество М векторной решетки X называется верхней подре-шеткой, если Vie, у £ М выполняется XVу £ М (имеется в виду супремум в пространстве X). Аналогично, нижней подрешеткой называется множество М С X, замкнутое относительно операции взятия инфимума. Множество, являющееся одновременно верхней и нижней подрешеткой в X, называется подрешеткой.
Очевидно, что в векторной решетке существуют супремум и ин-фимум любого конечного числа элементов. Векторная решетка, в которой всякое ограниченное сверху множество имеет супремум, называется полной векторной решеткой или К - пространством. Если же для любого ограниченного сверху множества А С X существует счетное подмножество А С А такое, что sup А = sup А', то векторная решетка X называется К - пространством счетного типа.
Пусть X - векторная решетка, А С X - множество, у которого существуют супремум sup А и инфимум inf А. Тогда для любого х £ X выполнены следующие соотношения:
х + sup А = sup(iE + А),
х + inf А = inf (ж + А), (2.1)
sup А = — inf(—А).
Пусть X - векторная решетка, Y - К - пространство. Линейный оператор U: X —» Y называется положительным, если Vie 0 => Ux
0. Линейный оператор U называется регулярным, если он представим в виде U = U — U2, где U и U2 - положительные операторы. Множество всех регулярных операторов обозначим L~{X, Y).
Теорема 2.1 ( [81]) Для того, чтобы линейный оператор U: X —» Y был регулярен, необходимо и достаточно, чтобы образ любого