Исследование вопроса о корректности задач дифракции в случае угловых областей

• Автор: Мокеева, Наталья Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 70 с. : ил.

1 Обозначения и результаты
1.1 Постановка задачи
1.2 Уходящие решения
1.3 Операторы сдвига
1.4 Обзор полученных результатов
2 Метод спектральных функций
2.1 Интегральное представление уходящих решений
2.2 Спектральная функция. Система интегральных уравнений для спектральных функций
2.3 Теорема об изоморфизме. Аналитическое продолжение спектральной функции
2.4 Разложение спектральной функции
2.5 Асимптотика рассеянного поля
3 Принцип предельного поглощения
3.1 Постановка задачи в случае экспоненциально большой на бесконечности падающей волны

3.2 Система интегральных уравнений для спектральных функций
3.3 Теорема об изоморфизме
3.4 Асимптотика рассеянного поля
Литература

Задача о рассеянии и преломлении волн прозрачным клином давно находится в поле зрения физиков (собственно говоря с XVII века, со времён первых опытов о преломлении света прозрачной призмой). До работы Пуанкаре, опубликованной в 1889 году, задачи об угловых областях рассматривались либо с позиции физической оптики (подход Гюйгенса-Френеля), либо с позиции преломления и отраже-ния плоских волн. Пуанкаре' первый пытался сформулировать задачу об угловых областях, как краевую задачу математической физики. В своей работе (’Theorie mathématique de la lumière”) он указал, что надо искать решение уравнения Гельмоль-ца, удовлетворяющее краевым условиям(см.[1]). Он рассматривал импедансное граничное условие и условие сопряжения. Пуанкаре суммировал некоторые частные решения и искал их физический смысл. Однако, в работах Пуанкаре нет ни четкой постановки задачи, ни её решения.
Вскоре Зоммерфельд получил решение задачи о дифракции плоской электромагнитной волны на экране, с идеальными граничными условиями. Полученное им решение носит имя ’’интеграл Зоммер-фельда”. Кроме того, он первый’ сформулировал условия излучения и предложил вариант условий в окрестности вершины угла, которые в дальнейшем получили название ’’условия Мейкснера”. Интегральная форма условий излучения была введена Магнусом (см.[2]). В середине XX века Г.Д.Малюжинец нашел решение задачи о рассеянии акустической плоской волны на клине с импедансПоскольку функция ОЦ (&2 сое /3) является чётной функцией по (3, то мы можем переписать '
Лх(—гсоэ0, — гьтв) = ^[3)е~гтк2СО&^е~^(113, 0 > О /гД—гсоэ0, — гэт0) = ^ Д(&2 соэ/Де~гг*2СО®(е_^ф0, 0 < О
(2.5.4)
где контур Сх изображен на рисунке 10.

Рассмотрим случай 0 > 0. Заменим волновые числа к, кч на комплексные волновые числа кіе~гє, &2Є_ІЄ. При этом точки ветвления, т.е. точки из множества С-7, перейдут в верхнюю полуплоскость.