Оценки точности приближённых решений и их применение в задачах математической теории волноводов

• Автор: Панин, Александр Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Аппроксимационные свойства конечномерных функциональных подпространств и двусторонние оценки собственных значений
1.1 Свойства конечномерных подпространств
1.1.1 Некоторые обозначения
1.1.2 Оценка аппроксимации
1.1.3 Примеры пространств, удовлетворяющих оценке
1.2 Двусторонние оценки собственных значений
1.2.1 Постановка задачи
1.2.2 Первое собственное значение
1.2.3 Остальные собственные значения
1.2А Задача «с весом»
1.2.5 Примеры
1.2.6 Квадрат
1.2.7 Треугольники
1.2.8 Отрезок с непостоянным р
2 Численное исследование спектральных свойств волноведущих систем
2.1 Ловушечные моды локально нерегулярных волноводов
2.1.1 Плоский случай
2.1.2 Трехмерный случай
2.2 Временная асимптотика поля в регулярном волноводе
3 Оценки погрешности приближённого решения эллиптического уравнения с некоэрцитивной билинейной формой
3.1 Постановка и дискретизация задачи
3.2 Алгоритм вычисления приближённого решения и оценки погрешности
3.3 Обоснование алгоритма
3.3.1 Проектор Рс
3.3.2 Операторы А и [/ — А]1

3.3.3 Леммы
3.3.4 Основные теоремы
3.4 Оценка погрешности в случае уравнения Гельмгольца
3.4.1 Основная идея
3.4.2 Вывод модифицированных оценок
3.4.3 Алгоритм вычисления приближённого решения и модифицированных оценок погрешности для уравнения Гельмгольца
3.4.4 Тестовые расчёты
4 Суперсходимость проекционных методов для одномерной задачи Дирихле
4.1 О понятии еупереходимости
4.2 Рассматриваемая дифференциальная задача
4.3 Основной результат главы
4.4 Некоторые замечания о применении полученных результатов
4.5 Численные примеры
4.5.1 Уравнение Гельмгольца
4.5.2 Уравнение с членом первого порядка и разрывным коэффициентом
А Доказательство теоремы
Заключение
Литература
Введение
Настоящая диссертация посвящена вопросам оценок точности приближённых решений задач математической физики и их применению в теории волноведущих систем.
С ростом возможностей вычислительной техники, позволивших решить весьма сложные краевые задачи математической физики, все более ощущается отсутствие простых алгоритмов, позволяющих получить оценки точности приближенного решения. Например, в настоящее время существуют ориентированные на широкую аудиторию коммерческие комплексы программ, такие как PDE Toolbox в MatLab’c и FEMLab, реализующие алгоритм метода конечных элементов для всех основных линейных краевых задач в ограниченных областях размерности от 1 до 3, однако к этих программах не встроено вообще никакого механизма оценки точности полученного приближённого решения и пользователю не остается ничего другого, как сгустить сетку и визуально оценить скорость сходимости, хотя достоверность такой оценки никак не обоснована. Сходимость проекционных методов для линейных задач математической физики была строго доказана в 1960-70-х годах [1], однако в теоретических работах по численным методам обычно ограничиваются доказательством самого факта сходимости и нахождению её порядка.
Большинство известных алгоритмов оценки погрешности применимо только к краевым задачам для уравнения Пуассона или, более общо, к задачам с положительно определёнными операторами [2], [3], |4], [5], но, к сожалению, пи один из них пока не реализован в виде общедоступных комплексов программ. Вероятно, наиболее; простым в реализации будет алгоритм, основанный на апостериорных оценках, полученных недавно С. И. Репиным [б], [7] (см. также обзор [8)) и не требующий вычисления каких-либо общих констант, кроме оценки сверху константы в неравенстве Пуанкаре—Фридрихса. Однако имеются принципиальные препятствия для перенесения этого метода на задачи с незнакоонределенными операторами и, в частности, па задачи для уравнения Гельмгольца. Известные оценки для отклонения приближённого решения для всех основных уравнений математической физики были суммированы в работах М. Накао (см. [9], [10], [11]); в настоящей диссертации на их основе получены улучшенные оценки, построен и реализован алгоритм для оценки точности вычисления собственных значений оиерато-

2.1.2 Трехмерный случай
В примерах 4 и 5 (рис. 4а—56) рассмотрены системы, сечением нолубееконечных труб которых является прямоугольный треугольник с катетами /2, /2. Его собственные знамения найдены в главе 1 и представлены в таблице 2. Оценки для частот ловушечных мод приведены в подписях к рисункам. Видно, что удаётся доказать существование двух мод, симметричной и антисимметричной.
Пример 6 (рис. 6а, 66) аналогичен предыдущим, с той лишь разницей, что сечением труб является прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1/2. Оценки его собственных значений представлены в таблице 4 главы 1, а найденные симметричная и антисимметричная моды (точнее, их ритцевские приближения) — на рисунке ниже. В примере 7 (рис. 7) волновод имеет один изгиб, и удаётся доказать существование одной ловушеч-ной моды.
В примерах 8—10 (рис. 8—10) рассмотрены системы, трубы в которых представляют в сечении правильный треугольник со стороной 1 (см. таблицу 3). В частности, в последних двух примерах рассмотрены системы, состоящие из полубесконечной трубы с присоединённым к ней резонатором. В примере 9 резонатор представляет собой прямоугольный параллелепипед размерами 1 х 1 х 0,5. Его первое собственное значение равно 67Г2 кз 59,2176, что больше квадрата первой частоты отсечки. Однако сели найти оценку для первого собственного значения большей области (изображённой на рис. 9), то доказать существование ловушечной моды удаётся.
В примере 10 (рис. 10) также рассмотрен резонатор. В отличие от предыдущего случая, его первое собственное значение меньше квадрата первой частоты отсечки, поэтому существование первой ловушечной моды доказывается без применения проекционного метода к трёхмерной области. Однако применив его, устанавливаем существование второй моды, лежащей ниже непрерывного спектра полубесконечной трубы.