Метод энергетических оценок в задачах о разрушении решений нелинейных уравнений псевдопараболического типа

• Автор: Корпусов, Максим Олегович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 218 с.

Список обозначений

1 Модельные нелинейные уравнения псевдопараболического типа

1.1 Математические модели квазистационарных процессов в кристаллических полупроводниках

1.2 Модельные уравнения псевдопараболического типа

1.2.1 Нелинейные волны типа волн Россби или дрейфовых волн в плазме

и соответствующие диссипативные уравнения

ф 1.2.2 Нелинейные волны типа Бенджамена-Боиа-Махони и соответствующие диссипативные уравнения

1.2.3 Нелинейные математические модели анизотропных полупроводников

1.2.4 Нелинейные сингулярные уравнения типа Соболева

1.2.5 Уравнения псевдопараболического типа с нелинейным оператором

при производной во времени

1.2.0 Нелинейные нелокальные уравнения псевдопараболического типа
1.2.7 Краевые задачи для эллиптических уравнений с граничными условиями псевдопараболического типа
1.3 Разрушение решений - пробой полупроводников
1.4 Возникновение и распространение электрических доменов в полупровод-
® никах
1.5 Математические модели квазистационарных процессов в кристаллических электромагнитных средах с пространственной дисперсией
1.6 Модельные уравнения псевдопараболического типа в электрических средах с пространственной дисперсией
1.7 Модельные уравнения псевдопараболического типа в магнитных средах
с пространственной дисперсией
2 Разрушение решений класса сильно нелинейных псевдопараболиче-® ских уравнений с источниками и уравнений с нелинейной диссипаци-

2.1 Постановка задач
2.2 Первоначальные определения и условия
2.3 Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.1)
2.4 Сильная обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.1)
2.5 Слабая обобщенная разрешимость и единственность задачи (1.2) и оценки времени и скорости разрушения решения
2.6 Локальная сильная разрешимость и единственность задачи (1.2) и оценки времени и скорости разрушения в случае В
2.7 Примеры
3 Разрушение решений сильно нелинейных волновых псевдопараболи-ческих уравнений или уравнений с линейной диссипацией
3.1 Постановка задач
3.2 Первоначальные определения и условия
3.3 Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.1)
3.4 Сильная обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи
(1.1 )
3.5 Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи
(1.2 )
3.6 Сильная обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.2)
3.7 Примеры
4 Разрушение решений сильно нелинейных волновых диссипативных псевдопараболических уравнений с источниками
4.1 Введение. Постановка задачи
4.2 Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи (1.1)
4.3 Сильная обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи (1.1)
4.4 Примеры
Заключение
А Некоторые результаты функционального анализа
А.1 Две эквивалентные формулировки слабого решения в смысле 1Ь2(0, Т; В)

Список литературы

обращаются в нуль при почти всех х € П. В этом и заключается эффект "релаксации"за конечное время. Причем каждое решение задачи (2.51)-(2.53) обращается в нуль при почти всех х € П за некоторое время <о> различное, вообще говоря, для разных решений. Но если для данного решения р время релаксации равно некоторому 10, то рассматривая новую задачу (2.51)—(2.53) с начальным условием равным нулю при ^ = <о мы получим, что в рассматриваемом обобщенном классе гладкости единственным решением в силу (2.54) будет тривиальное. Нетрудно убедиться, что "сшитое"во времени при й = решение в силу (2.54), (2.55) будет удовлетворять указанному выше классу гладкости. Действительно, нам достаточно убедиться, что сшитое таким образом решение р
<р(х,
р(х, <) < 6 [О, *о]
о г > г0
принадлежит классу
Тр е Ь°°(<0 - 77, <0 + г\ НДП)), Тр € ]Ь2(<0 - + Я', НДП))
в некоторой окрестности точки ( € (<о — т]', <о + ц), 77 € (0, £о/2). Из (2.54) и (2.55) следует, что
II ||^ (£)+ || тр \ (£) <|| Ур01| + || р01|I, I е (£0 - т),и + 77),
*0+*7
Сх(П) II Г7,„. 1|2(1+?)
/ *[|| У*58 II2 (з)+ II р3 II2 (а)] < ||
Теперь мы в состоянии получить оптимальные оценки сверху и снизу на время и скорость "релаксации"за конечное время. С этой целью введем обозначения
М(0 = (II Чр ||2 (Г)+ || V ||2 (Г))1/2, 7 = М-ДД), Г € (0, *„),

“(8’г)ЕЩ^7+|*’1)’ Е(и) = у IIV« III (з)+IIи III («), ^6 п.
При этом мы будем под р понимать какое либо одно решение задачи (2.51)—(2.53) с фиксированной точкой "релаксации"0 < £о < То?'|д|-1С4 Х(П). Разумеется, для разных решений точки "релаксации", вообще говоря, различны. Но все получаемые ниже результаты справедливы для всех решений исходной задачи в обобщенном смысле.
Нетрудно проверить, что введенная функция и(з,х) удовлетворяет следующей начально-краевой задаче в смысле Ь2(-Г/7, Т/7 - Г/7; Н_1(П)) :
^(Ды-и)+с1(П)||Уи||^Д« = 0, «(-*77,*) = <7 €(-1,0), (2.02)
и(з,х) еЬ°°Н77,Т/7-Г/7;Их(П)), и^х) 6 Ь2(-Г/7,Т/7 - Г/Г,КШ, Т>
Докажем, что данное решение задачи (2.62), соответствующее фиксированному решению р(х, £) задачи (2.51)-(2.53) с некоторым временем релаксации £0) таково, что
с6 < ^Е(и) |5=0< -с5, с5,Сб > 0. (2.63)