Стабилизация статистических решений линейных гиперболических уравнений второго порядка

• Автор: Ратанов, Никита Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 128 c. : ил

Глава I. Стабилизация корреляционных функций статистических
решений волнового уравнения. Оценки четвертых моментов
§1. Статистические решения волнового уравнения с постоянными коэффициентами
§2. Формулировка основных результатов
§3. Корреляционные функции статистических решений волнового
уравнения
§4. Оценки моментных функций второго и четвертого порядка
мер, удовлетворяющих условиям перемешивания
§5. Сходимость корреляционных функций доказательство теорем 2.1 и 2.2
Глава II. Стабилизация статистических решений волнового
уравнения с постоянными коэффициентами
§6. Формулировка основного результата. Слабая компактность
статистических решений
§7. Доказательство леммы б;2 о сходимости характеристических ких функционалов
§8. Окончание доказательства леммы 6.2. Проверка условия
Линдеберга.~
Глава III. Стабилизация статистических решений гиперболических уравнений с переменными коэффициентами
§9. Постановка задачи
§10. Решения с бесконечной энергией волнового уравнения
во всем пространстве
§11. Энергетические оценки
§ 12. Асимптотика при Ъ—> =>« решений задачи (9.1) - (9.2)
с бесконечной энергией
у 13. Стабилизация статистических решений задачи (9.1)
-(9.2)
Дополнение I. 0 доказательстве теорем 2,1, 2.2 и 6.1 в
случае нечетных К> 3
Дополнение П, 0 стабилизации статистических решений
задачи (1.1) -(1.2) в случае неоднородной
начальной меры
Дополнение Ш. Примеры случайных полей, удовлетворяющих
условиям перемешивания

Бведение
В работе изучается вопрос о стабилизация при 7Ьстатистических решений линейных гиперболических уравнений второго порядка
§«М. ci )
L,ic=i
ке^Ь>о
при начальных условиях
Ш,0) = Г(х), ^,o)--uU,(?)
Предполагается, что случайная функция lt0=[il0, удовлетворяет условиям перемешивания: сильного (И.А.Ибрагимов [16]) или равномерно сильного (М.Розенблатт [32]). Грубо говоря, это означает, что значения Чл(х) и V,0(%) начальных данных слабо зависимы при . Кроме того, предполагается, что
лучи уравнения (I) уходят на бесконечность при -£,-><>«=>
При этих условиях с некоторыми дополнительными уточнениями доказано, что распределение решения задачи Коши (1)-(2)
и его производной по Ъ в момент времени ~Ь слабо сходится при ‘о к гауссовой мере , связанной с распределением начальных данных явными формулами.
Такая постановка задачи для уравнений с частными производными в сочетании с условиями перемешивания в литературе до сих. пор не рассматривалась. Эта задача связана с одним из направлений в обосновании статистической физики, намеченным Р.Л.Добру-шиным в его докладе на заседании Московского математического общества Ql4] (см. также [15]).

Предложение 6.1.' Пусть выполнены условия теоремы 6.1. Тогда для V Р >0 существует СС^)< <:><3 такое, что
для у-ь>0 ." Здесь III'III (д) - полунорма в X , заданная соотношением (1.3).
Доказательство. В силу конечности средней плотности энергии меры (см. (2.12)) по теореме 711.1.1 из [б]
Б* -ЕМЬ. ’
Здесь £>£=• - шар в ЦТ , 1 Е>^| - его объём;
Е%((|%7*)|2+с«21уг<-‘’(ое)12'+1'и'(*)12)к(^) Сб‘5)

для любого -к >о
Чтобы доказать неравенство (6.3), оценим величину 6^ Заметим для этого, что по определению корреляционных функций (ом. (2.7) „ (2.11)) в, = %.
Заметим, что из (3.17) и (3.19) следует
-е01(0)4-(0) = -Сс£Д С^1 (о)* 00) (6.6)
для всех Ь >0 . Поэтому
%--^(о)-с1лронр0). (6