Об осцилляционных свойствах линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

• Автор: Домошницкий, Александр Исакович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 116 c. : ил

П ре д и с л о в и е
Глава I. Теорема Валле-Пуссена и оценка промежутка неосцилляции для уравнения нейтрального типа
§ I.I. Теорема Валле-Пуссена для уравнения
нейтрального типа
§ 1.2. Условия неосцилляции для линейного уравнения нейтрального типа
Глава 2. Теорема Штурма для уравнений с запаздывающим аргументом
§ 2.1. Теорема Штурма для уравнений нейтрального
типа
§ 2.2. О справедливости теоремы Штурма для
уравнения,разрешенного относительно старшей производной
§ 2.3. О периодической краевой задаче для уравнения с запаздывающим аргументом
Глава 3. Асимптотические свойства решений
уравнения с запаздывающим аргументом
§ 3.1. О неограниченности решений уравнения с
запаздыванием
§ 3.2. Асимптотические свойства уравнений с
периодическими коэффициентами
JI и т е рат у р а

ПРЕДИСЛОВИЕ
В диссертации изучается линейное функционально-диффе-ранциальное уравнение п. -го порядка с последействием
£№, (O.I)
г о
te[0,oo), х<я>(6) = 0, 6<0.
Здесь функции (■', 4): R+-*" R ( R+=[0,°°)> Rs(-°o) )
i e R+ измеримы, 2^,’) • R + R при почти всех
(п.в.) t е R+ имеют ограниченное изменение, t
VZgCt,*)'- R+~*~ R+, £• R+~*“R суммируемы в степени

1^р<оо на каждом конечном промежутке из R+, ь=0 n-t . Функции (} ,^,*R+-*“R измеримы, ограничена
в существенном, g удовлетворяет неравенству
для п.в. i € R+ , кроме того ^ удовлетворяют условию (0.2):(V'ecR+) mcs(e)^0 => rn.es %~е)
(38>0) me6(Q)g)=0 или
(V6 6R+) fa watsup (Q 2)
w£= {t6R+:-t-^ct)££} ,
r mesC^^e)) -.■?
^tg,- _SUf> /nes^e) J
} ec сац
Под решением уравнения (0.1) будем понимать функцию a:R+ —R с абсолютно непрерывной производной хсп~1:> (причем х(п) суммируема в степени р<©о на любом конечном промежутке из R+ ), удовлетворяющую уравнению

(0.1) для п.в. Ь е К+
Как известно [2 б] » в сделанных предположениях общее решение х уравнения (0.1) имеет вид
«В=2Г;1;соЛС(М)иад4
г-1

Здесь С(кз) - функция Коши уравнения (0.1) [2,8]
Вронскиан
Л
С/г-*)
такого уравнефундаментальной системы х,, х^ ния обладает свойством: 'Л/(0)^0 [2,8]
Очертим круг вопросов, изучаемых в диссертации.
I. О справедливости теоремы Чаплыгина
Говорят, что для краевой задачи ^ХСЬ = т, кх-оСг, , 1=1 п
(0.3)
( & , £=1 /г. - линейные, линейно независимые функционалы, £ €• /?+ ) справедлива теорема Чаплыгина, если из равенств = , г=1 /г и функционально-дифференциального неравенства о£ п%и) & Ш) на ГО, £>]
следует, что х££ (или ж2 ), где х - решение краевой задачи (0.3).
Отметим, что в случае обыкновенного дифференциального вопросу об условиях справедливости теоремы Чаплыгина уделялось много внимания различными авторами [3,3,32,42,48,49,56,57,76].
Решение краевой задачи

i&LQ, f Я]
^(Ъ“ 7 з . ,ц ч >
QWC.COS Т > Г е (-3 Лоо)
имеет решение зс(£)
COS1 ,
te[0, f ЗУ]
с кратным нулем при
Г = (значит и W(§7i+y=O = 0 )

Существенность неотрицательности Ц показывает Пример 2.2.3. Уравнение (2.2.1) при т=-2 х(?) = 0 г зсли
?<0,
Г & , ОН 4 0,5
- > 0,5 1 21
1160000 10 &£
L 36 3
г-10~6 о а <10 о
, //.Г °> ОЦйО,5 h2(tJ~lO,3, 0,5 10*ь
имеет решение xci)
0,36 — l,6i~t , 0$t£0,5
0ЛЫг-27б6, 0,5 _ 19000 (bJ0_ili_)2 f
12 i Й5000;>
имеющее кратный нуль при Ь = 10 +
145000
Замечание 2.2.1. Упорядоченность запаздываний между собой ( *4*1 ) в условиях теоремы 2.2.1 оказывается излишней, если АСктД) не зависит от г . Кроме коэффициентов вида с!т> = а£ ср с£) к этому случаю могут быть отнесены, например, коэффициенты вида р£.^)=0£*+6;» если аь/£>-=К для г=1 лг
Условия (2.2.3) - (2.2.5) примут вид: