Краевые задачи в полупространстве для одного класса псевдодифференциальных уравнений с вырождением

• Автор: Садчиков, Павел Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 113 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 .ВЕСОВЫЕ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА

1.1 Формулы коммутации и вспомогательные оценки

1.2 Композиция весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом из класса
1.3 Теорема об ограниченности весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом из класса Б"'
1.4 Оценки коммутатора весового псевдодифференциального оператора с переменным символом из класса и операторов

дифференцирования ^-г

1.5 Граничные значения весового псевдодифференциального оператора с переменным символом из класса 5^
1.6 Сопряженный оператор и неравенство Гординга для весовых псевдодифференцильных операторов с переменным символом из класса 5",
ГЛАВА 2. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ПРОИЗВОДНУЮ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПО ПЕРЕМЕННОЙ Т
2.1 Вспомогательные утверждения
2.2 Доказательство априорных оценок решений задачи Дирихле для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений с переменным по ( символом

ГЛАВА 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ПРОИЗВОДНУЮ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПО ПЕРЕМЕННОЙ Т
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ВВЕДЕНИЕ

Краевые задачи для вырождающихся уравнений относятся к «неклассическим» задачам математической физики. Основная трудность, возникающая в теории вырождающихся эллиптических уравнений, связана с влиянием младших (в смысле теории регулярных эллиптических операторов) членов уравнения на постановку граничных задач и их коэрцитивную разрешимость.
Вырождающиеся эллиптические уравнения второго порядка и граничные задачи для них достаточно хорошо изучены. Фундаментальные результаты в этом направлении принадлежат М. В. Келдышу [1]. Полученные им результаты затем развивались и обобщались О. А. Олейник [2]. Обобщенные решения вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка впервые были рассмотрены в работах С. Г. Михлина [3] и М. И. Вишика [4]. Вслед за этим появился ряд работ, в которых методами, близкими к методу М. И. Вишика, изучались вырождающиеся уравнения второго порядка. Достаточно полную библиографию этих работ можно найти в книгах М. М. Смирнова [5], О. А. Олейник, Е. В. Радкевича [6]. Фундаментальные результаты по изучению асимптотических свойств решений линейных и нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем были получены В. А. Кондратьевым [7], [8], В. А. Кондратьевым, Е. М. Ландисом [9], Ю. В. Егоровым, В. А. Кондратьевым, О. А. Олейник [10]. Метод “эллиптической регуляризации” был применен О. А. Олейник [11], а затем Дж. Коном и Л. Е1иренбергом [12] для изучения эллиптико - параболических уравнений второго порядка. В работах В. П. Глушко [13], [14] была установлена коэрцитивная разрешимость общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка в специальных весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева с весом. Задача Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных в произвольной

Кг,^2) = £ |ог •-Е’Дда^(Г1(г),#,/7)]/°')(гУ2'7^+
у=0 —О0 ^ *
+ ] к(т, £ г)ёщ (т,2)г е^ск = ^Щ^д{р((р~т),%,'п)/ит) +
—оо .3=0 7 •

+ | к(т,£;,гКМ1 (т,г)гы,е1г’,ск.

Отсюда следует, что

Т^{т,£,Г1)= {к(т,$,г)е„1(т,г)г*‘е1я,{Ь. (1.2.15)

Обозначим кх (т,£,г )= к(т, г) • гК'. Тогда
кМ1{т,М = 2»'Р£Хр(<р-'Ш>Ф = Р£Л-.д,,)"' Р(.<Р~ти,П)}- (1-2Л6)
Заметим, что для любого М > 0 при А, > А + ш ядро кА1[ (г, ^,г) есть непрерывная функция, удовлетворяющая оценкам
|д[кщ (г,£,я)|| < — ^ ^ -^Л<ЧЛ,+1 , константа, с оценивается через конечное число
констант су/ из (1.2.7) при у - 0.
/ 1,У| I
Для gN^ (т,г) = ——— (т - 0з)(1 - в)н'~х 66 вытекает оценка д[ёщ (^.£2)| ^ «тах|/1,+Л>’(г + у)!-
Если Щ > N + т, то, интегрируя в (1.2.15) по частям N раз и оценивая получившиеся интегралы по абсолютной величине с помощью последних двух оценок, мы докажем неравенство
| А/)(г-+ у|
{^ + п)ятщ{г^,л)<с X 8иР(тах^——!),
м,<1<м,+м М*1г! (1 + г)
Причем константа с оценивается через конечное число констант с , из (1.2.7) при у = 0.