О гладкости решений эллиптических и параболических уравнений вблизи нерегулярной граничной точки

• Автор: Мамедов, Фарман Имран Оглы
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 101 c. : ил

ГЛАВА I. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1.1 Лемма о внешней устойчивости
§ 1.2 Теорема об ограниченности производных
§ 1.3 Геометрические.теоремы об.ограниченности
производных
ГЛАВА П. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 2.1 Лемма о внешней устойчивости
§ 2.2 Теорема об ограниченности производных
§ 2.3 Геометрические.теоремы.об.ограниченности.
производных
ГЛАВА Ш. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
§ 3.1 Оценки фундаментального.решения.и.интегральное представление
§ 3.2 Оценки типа Бернштейна
§ 3.3 Оценка вблизи иррегулярной точки
ЛИТЕРАТУРА

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию поведения решении эллиптических и параболических уравнений видов:
ГЬ ()2Ц ГЬ
Щ5ч+£Ь<*>-Щ+иЧм (1)

ти=;%а'Д^55^ + ^6‘а'Х)|^_ + С№’Х,и~|г=МХ) (2)
вблизи граничной точки.
Хорошо известно, что если граница ^42 области £2 имеет гладкость заданного порядка, то решение Щ (X)
задачи Дирихле
Ми = /(*) (3)
с достаточно гладкими коэффициентами СЕ,^ (х) , бцх) , С(.х) , /(X) и граничной функцией ^ имеет гладкость того же порядка, что и ее граница, вплоть до границы. Это является следствием оценок Шаудера (см.напр.[8 , 22 , 33, 41, 64 , 65]. Причем гладкость решения, вообще говоря, неулучшаема.
Иначе обстоит дело при произвольном строении границы. В этом случае существует тесная связь между емкостной характеристикой множеств дополнения к области и поведением решения задачи Дирихле вблизи исследуемой граничной точки.
Точка Х0 границы д£2 называется регулярной, если,какова бы не была непрерывная на д$2. функция , обобщенное по Винеру решение (см. 28 ) иУ>(Х) задачи (3) удовлетворяет условию:

([т У-ч> (х) — М(х0)
Х-+Хо
Х€Л
Критерий регулярности граничной точки для уравнения Лапласа впервые был получен в работах Винера[9]и Келдыша[21]. Критерий заключается в расходимости ряда
т(п-2)
X 2 Сар Нт (4)
/77=0 П'2
где Нт - множество дополнений к области £2 , лежащей в шаре радиуса 2 Ю с центром в са[э^Нт - Винеровская емкость множества Нт (точное определение см.ниже).
Для общих уравнений вида (I) критерий регулярности был получен в работах[3 , 19 , 25 , 36 , 37 , 38 , 49 , 50 , 52 , 56 , 66] , для нелинейных уравнений в[14 , 39 , 53], а для вырождающихся уравнений в[1 , 2 , II , 17 , 27 , 42 , 52].
Исследовав скорость расходимости ряда (4), можно дать оценку модуля непрерывности решения вблизи граничной точки[28 , 29 37 , 38 , 50 , 53 , 55] . Из этих результатов, в частности следует, что чем сильнее скорость расходимости ряда (4) тем глаже решение задачи Дирихле вблизи граничной точки. Здесь следует отметить также исследования Урыссона[б1], которые в терминах расходимости интегралов от уравнения симметрической границы дают простые легко проверяемые геометрические критерии регулярности граничной точки.
Однако, решение гладко не только в случае расходимости ряда (4). Рассмотрим задачу Ми*= О в 5?£ , 2=У , где
£ компакт нулевой емкости, а У непрерывная на функция.

Сравним на Г(Лт) функции Нт- Нт-1 и Ьт ( Х)т
определено в (2.1.3)).
Г (Х)т) - состоит из 3-х частей: часть г, (ш , лежащая
на боковой поверхности цилиндра Цт(£>) ; Гг(£)т) часть дЛ) лежащая в слое-2 ^ . Гз(Ьт) часть с)2) ^ оставшаяся ниже гиперплоскости Ъ=-£
По определению последовательностей Нт(Ь,х) и 1}т Ц,Х) на
Гз(£т): ита,х)- и-т-1 (£,х)= о и -ь-та,х) = о ;
На Г2(Лт)иП ( Х)т) имеем:
і?-т(£7х)^25а/о/а/| Ка,(х, у, і, ?)Ыр'(%у)
а, СХ, у, £,?)а(
>2зир1и1 ^ ит-ит-1 , а,
Так как ~ равновесная мера Нт и
Г2 (Х)т) СІ Гз (Зт)^ ЭНт
Рітак, на всей Г ( Л)т)
Нт ит-1 (І,*) 4: д-тЦ,х)
По принципу максимума это неравенство справедливо и в &т Рассуждая аналогично, находим, что в Л)т
Нт Нт-1 ^ СОт(£гХ)
Имеем:
тах 1ит(Ь,Х)~ ит-1 а,Х)І£&т(і,Х)-сот(і,х)& Л)"