Задача Коши для вырождающегося уравнения гиперболического типа в гильбертовом пространстве

• Автор: Семенов, Сергей Митрофанович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 88 c. : ил

Введение

Глава I. Уравнение с вырождающимся множителем при А м,

§1. Задача Коши для простейшего уравнения

первого типа

§2. Разрешимость задачи Коши дйя общего

уравнения при нулевых начальных данных

и быстро убывающей правой части

§3. Общая задача в случае произвольного

порядка вырождения

§4. Общая задача при вырождении не быстрее

степенного
§5. Приложение к вырождающимся гиперболическим уравнениям
Глава 2. Уравнения с вырождающимся множителем при
второй производной
§6. Разрешимость в классе быстро убывающих
функций
§7. Общая задача 6.1 , 2.2
§8. Приложения к дифференциальным уравнениям
в частных производных
Литература

В диссертации рассматриваются уравнения двух типов в гильбертовом пространстве Н
и."+ л($А(У а + В (А)-и'+С (А) и <и (х)
л(ё)-и-и + Д(ё)-и- + В(ё)гД‘+ С{р)и -УСУ) (■£ &С°}’>']'). С2)
Предполагается, что А (А) при всех Ь б[о,1] - положительно определенный самосопряженный оператор с независящей от

областью определения, ВСЕ)) С.(А)А В X) - линейные ограниченные операторы ; функция <Я .'/Ж, 1J ~^[0}V*°°) непрерывна на [Р^ 1J , О-(о) = Р , СС'С'Р) > О при 7Ь > О
Будем называть уравнения (I) уравнениями первого типа, а вида (2) - второго типа.
Для уравнения (X)' пли (2) ставится задача Коши с начальными данными в точке вырождения
(О) - 1*0 } -и '{о) = -иВ . (в)
Решением (гладким) уравнения () или (2) назовем функцию , определенную на [0,1 ] со значениями в 2Р(А/ ,
' .. •' У
удовлетворяюпую /1^) или (2) , и такую, что функции и'^А3-«. непрерывны на 1] , -и'^ у А 4*- непрерывны на(о}7],
Невырадающееся уравнение /когда <хВ) = А. ) изучено . Соболевским П.Е. и Погореленко В.А. [ IJ
Уравнение (I) при АСА-А) &С+)-С№
с помощью бесселевых функций от оператора изучалось Вайнерма-ном Л.И. [2 ]
Уравнения первого типа изучалось также Каролем Р.В. и Шовальтером Р.Э. В [3] рассматривалось уравнение

1с1,+ Л*5(+)111+ЛрШ)*+Л(ьСУ+В&)Л,')-и =/ ,
где А - положительно определенный самосопряженный оператор, сУ} /3 > О ) 6>['{г)) 3 (-к) ^ /? С~к) ~ линейные ограниченные операторы, 0, 0-С~к) ,—^ О . Предполагалось, что все опе-
' -ь -*0
раторы коммутируют, и ставился вопрос о существовании дважды непрерывно дифференцируемого решения, удовлетворяющего начальным данным -и. (О) - -и.1 (о)
Была получена однозначная разрешимость в классе функций, достаточно быстро стремящихся к нулю при ~Ь —* , при правой
части У° , достаточно быстро стремящихся к нулю при О .
Заметим, что коммутируемость операторных коэффициентов в приложениях к уравнениям в частных производных означает, что коэффициенты уравнения не-зависят от пространственной переменной. Оставался также открытым вопрос о разрешимости задачи Коши при правой части, не стремящейся к нулю.
Уравнения второго типа изучалось Егоровым И.Е. В [4] рассматривалась задача Коши
АО^)'и'"~н + С(-б)1л - £[£)■)
фс(о) - и!(о) = О)
где АС*) И &С*> - самосопряженные ограниченные операторы.
Предполагалось, что В(~Ь) ~ ^гД $ или В> (~к) ~ ^ А (Д) Ъ & у £ > О .. Эти условия не позволяют @ С^) вырождаться, поэтому за такими уравнениями утвердилось название гиперболо-параболи-ческих.
В качестве приложений абстрактных уравнений (I) или (2) могут служить вырождающиеся уравнения в частных производных гиперболического типа
Приведем сначала работы по уравнениям в частных производных

- ?&)- <&р & -
- еяр(^і^£&)л)с&)%(■&)- . (А'12)
Таким образом, для правой части имеем выражение
А = А-г + £?. + Аъ + А^ *)
* врф-е^с-
+1щ>с~гьиі?л)-і]ЕС-ь)%1+),
- вид(мі?)РгрАея-рС-і^л-і + *р(-іЩ*®ь,
Од =[е*р(-ігагСщ)-Т]е#р£р^)с№)г{-і),
^Од = -<£$;) А? СО) ■

С помощью леммы 3.2 нетрудно показать, что А С
Например, для второго слагаемого в выражении для А^ это видно из его представления в виде
Іл'^сь^л)' 1**р С- 2- *2^ ) -1 ] *
у, у-г~Х ± У-^-эе_ -ЗЄ 5.1 ± + ?Ь1
7,1

С помощью леммы 3.1 нетрудно показать, что Л А^^С_
і р *1-рр
Из леммы 4.1 следует, что &(Хс&)ърд. р)Ь • Если
р Є -) ір - 1~] * то некоторого М > О
а* лр 0^)2- м-ьу.
Поэтому при таком р рр Л*(Ал + Цх ) Є Ер.
С помощью леммы 3.2 из формулы
* (Л*1?л)х^р(Лю^)[^д^рс5
подучаем, что ^ФЛЛ%^И‘'?+ЧФ