Ляпуновская приводимость линейной системы с последействием

• Автор: Быкова, Татьяна Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 108 с. : ил.

, Введение

Глава 1. Линейные системы с последействием и

показатель Боля

§ 1. Описание системы

§ 2. Об одном элементарном преобразовании системы (1.1) и негрубой экспоненциальной устойчивости

§ 3. Показатель Боля и равномерная экспоненциальная

устойчивость системы (1.1)

Глава 2. Системы с последействием,

асимптотически подобные на конечномерных подпространствах системам обыкновенных
дифференциальных уравнений
§ 4. Распространение теоремы Перрона на линейные системы
^ с последействием
■ § 5. Доказательство теоремы 4

§ 6. Пример системы с конечномерным существенным пространством решений
Глава 3. Рекуррентные системы с последействием и их
приводимость
§ 7. Рекуррентные системы с последействием
§ 8. Распространение теоремы Перрона-Миллионщикова о триангуляции на системы с последействием
. Список литературы

Линейная система с последействием
x(t) — J dA(t,s)xt(s), t£ R = (—00,00), (0.1)
может иметь решения x(t), обращающиеся в нуль (с возрастанием t) по истечение конечного промежутка времени, либо не обращающиеся в нуль, но стремящиеся к нулю быстрее любой экспоненциальной функции (Дж. Хейл, [29, с. 87]). Это означает, что показатель Ляпунова А(ж) = lim —этого
t~* 00 t
решения равен — оо.
Игнорируя такие решения, мы можем задаться следующим вопросом: будет ли система (0.1), рассматриваемая только на множестве нетривиальных решений x(t) с конечными показателями Ляпунова А(т), асимптотически подобна некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений? Правда, может оказаться, что пространство решений с конечными показателями Ляпунова (дополненное, конечно, тривиальным решением, показатель Ляпунова которого заведомо равен —оо) бесконечномерно, а количество различных показателей таких решений по меньшей мере счетно. Оказывается, однако, что при естественных предположениях относительно A(t, s), сужение системы (0.1) на любое конечномерное подпространство решений с конечными показателями Ляпунова, асимптотически подобно некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Это важное свойство подобия обыкновенной системе полезно при изучении асимптотических инвариантов систем с последействием. Неявно оно отмечалось для систем с периодической по t матрицей A{t, s) (А. Стокс [34], С. Н. Шиманов [31], A. Д. Мышкис [22, § 17]), но в общей ситуации не исследовалось. Вопросам асимптотического поведения решений периодических систем с последействием и более общих периодических систем нейтрального типа посвящены работы Ю. Ф. Долгого [14, 15], Ю. Ф. Долгого и С. Н. Шиманова [13] и Ю. Ф. Долгого и В. С. Тарасяна [16].
Основная часть диссертации посвящена изучению вопроса об асимптотическом подобии системы (0.1) на конечномерных подпространствах решений, системам обыкновенных дифференциальных уравнений.
Хорошо известно и общепризнано, что системе (0.1) отвечает некоторая динамическая система с фазовым пространством С{[—г, 0],МП) и потоком на нем t —> xt, порожденным решениями системы (0.1). Такая концепция, предложенная H. Н. Красовским [18] в конце 50-х годов прошлого столетия, оказалась естественной и очень плодотворной при изучении асимптотического поведения решений системы (0.1) и здесь мы придерживаемся этой концепции H.H. Красовского.
На протяжении этой работы мы предполагаем, что интеграл Стил-тьеса в (0.1) рассматривается по переменной s, xt(s) = жД + s), функция (t, s) —» A(t, s) ограничена в полосе Ж х [—г, 0], равномерно непрерывна по t, имеет ограниченную вариацию по s, АД, —г) = 0 и для любого е > 0 найдется такое 5 > 0, что для всех |т| ^ <5 и всех t Е Ж выполнено неравенство |АД + т, в) — АД, а)| ^ е (подробно эти условия описаны в
первом параграфе).
Пусть & — пространство непрерывных функций и : [—г, 0] —> Ж". Решению t —► жД, £о, и) задачи
где и 6 ©, поставим в соответствие функцию £ —> ж* (-До,и) 6 6, которую будем называть движением (в пространстве в). Если £0 — 0, то будем

линейное пространство Rf размерности р с базисом у1 (i) yp(t), образующем столбцы матрицы Коши Y(t, s) системы В при s = 0. Следовательно, запись y(t) G означает, что y(t) — значение решения системы В в точке t и поэтому y(t) = Y(t, 0)h при некотором h G RqПусть £(§f, Rf) — пространство линейных операторов, действующих ИЗ В С нормой || • ||б—»RP.
Определение 4.2. Функцию t —> L(t) G £(§£, Rf) будем называть обобщенным ляпуновским преобразованием систем (Л, §q) и В, если
1) функция t —> L(£) непрерывна на R+;
2) при каждом £ ^ 0 оператор L{t) является гомеоморфизмом пространств §£ и Rf;
3) выполнено неравенство
sup(||L(it)||e^Ep + ||L_1(i)||iRP^s) < оо
Будем говорить также, что система (А, Sq) приводима обобщенным ляпуновским преобразованием L к системе В, или что системы (A, Sq) и В асимптотически подобны.
Замечание 4.12. Приведенное здесь определение обобщенного ляпуновского преобразования отличается от традиционного определения ляпуновского преобразования отсутствием условия ограниченности на полуоси производной по времени функции t —>• L(t). Дело в том, что мы не можем потребовать выполнения этого условия, потому что разность L(t + е) — L(t) может не иметь смысла при £ ^ 0, так как область определения преобразования L(t) зависит от времени t.
Далее, непосредственно из определения L(t) следует, что обобщенные ляпуновские преобразования системы (A, Sq) сохраняют показатели