Асимптотические методы для сингулярно возмущенных и осциллирующих систем

• Автор: Есипенко, Дмитрий Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 131 с.

Содержание
Введение
Глава I. Осциллирующие системы с двумя быстрыми временами
§ 1. Обозначения и необходимые утверждения
§ 2. Системы в стандартной форме с двумя быстрыми
временами
2. 1. Построение асимптотики (25). 2. 2. О задачах, приводящих к системам с двумя быстрыми временами (30).
§ 3. Системы второго порядка с двумя быстрыми временами
Глава II. Сингулярно возмущенные быстро осциллирующие системы
§ 4. Асимптотика решения начальной задачи
4. 1. Обозначения и необходимые утверждения (50). 4.
2. Постановка начальной задачи (52). 4. 3. Построение асимптотики (53). 4. 4. Оценка остаточного члена (60).
§ 5. Асимптотика решения краевой задачи
5. 1. Предварительные утверждения (67). 5. 2. Постановка краевой задачи (71). 5. 3. Построение асимптотики (73). 5. 4. Оценка остаточного члена (84). 5. 5.

О некоторых оптимизационных задачах, приводящих к краевым для сингулярно возмущенных осциллирующих систем (99).
Глава III. Асимптотические методы в задачах вибрационного управления
§ 6. Вибрационное управление в системах, описываемых векторными уравнениями второго порядка
6. 1. Высшие приближения в окрестности асимптотически устойчивой точки покоя (106). 6. 2. Вибрационная стабилизируемость точки покоя (117).
§ 7. Вибрационное управление в сингулярно возмущенных системах с погранслоем
Литература

Введение
Настоящая работа посвящена разработке асимптотических методов для осциллирующих и сингулярно возмущенных осциллирующих систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Задачи такого рода возникают везде, где имеют место определенные быстро переходные процессы. Со времен Лапласа и Лагранжа и до наших дней такие задачи продолжают привлекать внимание, и их список продолжает пополняться. ” Неослабевающий интерес к методам малого параметра обусловлен больше всего их большой прикладной значимостью. Асимптотические методы решения задач, содержащих малые параметры, находят широкое применение в гидродинамике, нелинейной механике, химической и биологической кинетике, экологии, электродинамике, теплофизике, задачах управления, теории оболочек, теории гироскопических систем, физике полупроводников и многих других областях” [5 2].
В работе будут рассмотрены два новых класса задач: осциллирующие системы с двумя быстрыми временами и сингулярно возмущенные осциллирующие системы, и построены их асимптотики, а также рассмотрены некоторые приложения предлагаемых асимптотических методов к задачам вибрационного управления.
Хорошо известно, что бурно развивающиеся в настоящее время численные методы не исключают асимптотических. Это происходит по ряду причин. Во-первых, разумно построенная асимптотика, особенно ее главный член, несет существенную для приложений информацию о качественном поведении решения и в этом смысле в определенной мере заменяет точное решение, которое чаще всего не может быть найдено.

+ У] т-гв$г,т,д,о)(йь(г) + щ2(ът) + юь(г,т,0))+
. *1!
*1+*2=*
+ 5] +
*1+*2=*'+1
£1+*2=Н“2
-ЦТЙфГ‘,(г’Т’ *'0) “ 0Тч!Ф"+2)(4’ т’ *'0)}+
Ьб?ЛГ+1 (5 Ц $1 £> А*15 /2» /3: /Ч) >
где 6г';г+1 — отбрасываемые члены разложения, рц, Ц2» /Аз Д4 € [0,с], и если коэффициенты асимптотики щ, Ь{, Ю{ ограничены (как мы увидим это в дальнейшем), то
||£+1(г,г,£,./ч,Ц2,/*з,/«4)|| < Сем+1, (3.9)
где С не зависит от е £ (0,во]» € [9,Т], и т, $ £ [0,со).
Замечание 3.1. Здесь и далее для однообразия в записи разложений в некоторых суммах добавлены функции «о = 0, гсо = 0, и> = 0.
Далее приравняем к 0 все слагаемые до порядка 0{ем) включительно. При 1/е2 и 1/е соответственно получим
д2Ш2,

(*,г,#) = Ф(мо,г,0), (3.10)
() + (*,г) = ф(Ио’г)+ (3-и)

+ Ф,?(г*о,т,1?)(м1(<)+В1(*,т)) - 2(*,Т,0).
Слагаемые порядка единицы дадут уравнение
.. /ч 22/ Ч 92Ш4, лЧ . дил,
М*) + г)+ г’ + вЫ{щ) + г)+