Некоторые вопросы качественной теории эллиптических и параболических уравнений

• Автор: Ибрагимов, Акиф Исмайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 302 c. : ил

ГЛАВА I, в которой изучается поведение решения задачи Неймана и задачи Зарембы в зависимости от.изопериметрических свойств области
§ I Теорема о возрастании
§ 2 Теорема Харнака для решения задачи Неймана
§ 3 Теорема об осцилляции
§ 4 Априорная оценка норм Гельдера и теорема
о трихотомии для решения задачи Неймана.... 79 § 5 Знакопеременные решения задачи Неймана ... £00
§ 6 Смешанная задача. Свойства решений
§ 7 0 реализации решений задачи Неймана
Глава II, в которой изучается зависимость поведения решений задачи Зарембы от структуры области, описываемой проводимостью
§ I Описание класса рассматриваемых областей
и некоторые свойства проводимости
§ 2 Критерий регулярности граничной точки
§ 3 Критерий устранимости множеств
§ 4 Поведение.решений вблизи.иррегулярной
точки
§ 5 Поведение решений вблизи регулярной точки £63
Глава III, в которой изучается поведение на границе решений задачи Дирихле для.эллиптических недивергентных уравнений
§ I Вспомогательные леммы и определения
§ 2 Условия регулярности граничной точки
§ 3 Множества устранимых и иррегулярных точек

§ 4 Гладкость вблизи иррегулярной точки
§ 5 Принцип Фрагмена-Линделёфа
§ 6 Вырождающиеся эллиптические уравнения
Глава IV, в которой изучается поведение на границе и на бесконечности решений параболических уравнений
§ I Вспомогательные леммы и определения
§ 2 Условия регулярности граничной точки для
уравнений с непрерывными коэффициентами
§ 3 Теоремы о несущественных множествах
§ 4 Поведение решений задачи Дирихле вблизи
иррегулярной точки
§ 5 Теорема типа Фрагмена-Линделёфа и стабилизации
§ 6 Вырождающиеся параболические уравнения
§ 7 Поведение на границе и на бесконечности
решений задачи Зарембы для параболических уравнений
Л И Т Е Р А Т У Р А

В диссертации исследуются качественные свойства решений дифференциальных уравнений с частными производными. Рассматриваются эллиптические уравнения вида
X и = 21 1л±- - = о (!)
* ?х£ 1>ЗСуи- =X- щ] = о
и параболические уравнения вида
(/) _ п,-• (х, ^ 'М' _ ^ (3)
У 44, ~ Л- “V г "
-у * У'с 7 ^ о £■ )
со следушщми предположениями относительно коэффициентов
^ I л I У тчте» I ■е I ^ У £ £
V % У
(4)
Г/5/ ^ а*/ЬЪ*УМ , где /ї/=2.<
V''
Относительно эллиптических уравнений вида (I) в области ^ исследуется задача Дирихле
ХіА.^0 В „О, = £ (X,)
' I ?<& г
а относительно уравнений вида (2) - задача Зарембы
ь«..0 » л- ,^1^0 г
где ^ - производная по конормали оператора Ь , Г± у- с>£2
п/іа=р • Гі ~компакт*
- 49 -
у*~ - У/yc^ (1.34)
Рассмотрим теперь функцию t/(x)=-u,(x)~M(/-z~to) и применим к ней лемму 1.4.
С этой целью положим:
1‘ ' ТГ‘ , <г ' ТГ‘ * W / , А ,
Д = /г. xc-J2(D/ij'+l+ g/4)^-+it зф), $ * №(х.) * м х~ и*+4) j
Из леммы 1.3 следует существование поверхности уровня функции Х/(Х)
E0l-[z:x£. ЗЬ-,Т^+Л + ЦЦ) К(ХУ* & j o^CL * М Z~(to+i)}
такой, что
-г и* (1-35)
Заметим теперь, что в нашем случае
Д = Gl0 и ^ W(x) >а, t х, е J2 (0} r.+i * гЛ/гу, +з$/ч].
А потому в силу условия допустимости в слое относительно 4) и так как и j2'-*£ из (1.35), учитывая (1.34) получим