Обобщенные решения интегро-дифференциальных уравнений высоких порядков в банаховых пространствах

• Автор: Орлов, Сергей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 184 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Основные понятия

1.1 Обобщенная жорданова структура фредгольмовых операторов

1.2 Псевдообращение и жордановы наборы нетеровых операторов

1.3 Обобщенные функции со значениями в банаховых пространствах

1.4 Фундаментальная оператор-функция интегро-дифференциального оператора в банаховых пространствах и ее применение
2 Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах

2.1 Случай фредгольмова оператора в главной части

2.2 Случай нетерова оператора в главной части

2.3 Случай спектральной ограниченности операторного пучка

2.4 Случай секториальной ограниченности операторного пучка
2.5 Случай радиальной ограниченности операторного пучка .
3 Интегро-дифференциальные уравнения в банаховых пространствах с фредгольмовым оператором при старшей
производной
3.1 Фундаментальная оператор-функция вырожденного интегро-дифференциального оператора £лг(^(^))

3.2 Обобщенное и классическое решения вырожденного интег-ро-дифференциального уравнения в фредгольмовым оператором при старшей производной
4 Приложения
4.1 Движение вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта
4.2 Поперечные колебания пластины с памятью
4.3 Вязкоупруго-динамическое состояние среды
4.4 Поперечные колебания диссипативной пластины
4.5 Продольные колебания упругого стержня с учетом инерции
4.6 Колебания термоупругой пластины
4.7 Колебания термоупругой пластины в нестационарном тепловом поле
Литература

Введение
Представляемая работа посвящена исследованию вопросов существования и единственности решений начальных задач для линейных интег-ро-дифференциальных уравнений Вольтерра типа свертки в банаховых пространствах. Специфика подобных объектов проявляется в их двойственной природе. Неизвестная функция входит в дифференциальное выражение и, вместе с тем, фигурирует под знаком интеграла. Возникновение интегрального слагаемого в уравнении связано с необходимостью учитывать зависимость мгновенных значений характеристик описываемого объекта от их соответствующих предыдущих значений, т. е. влияние на текущее состояние системы ее предыстории. В современной литературе подобные технические и природные системы называют системами с последействием, наследственностью или динамической памятью. Математическое описание законов функционирования таких объектов было предложено В. Вольтерра (в серии статей 1909 года) на основе интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, которые впоследствии были названы его именем, и остается актуальным в настоящее время.
Отличительной особенностью изучаемых в работе интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах является их нерегулярность (сингулярность, вырождение), которая состоит в наличии необратимого оператора при старшей производной. Для таких объектов неприменимы теоремы, которые справедливы в регулярных случаях. Не допускают прямого распространения и методы исследования вырожденных линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Это порождает необходимость разработки аппарата, который, во-

u{t) = p(t) + [ lQho(s)ds+

t t- s

/ / (iV — 1)! ~Bl lp^(T)Qho(s)drds~ о

- 53(л0-1в„)м0'Ч ь -

где используются обозначения замечаний 2.1.4 и 2.3-4,
Ч-Щ = Х1(Ло1Во)кЛо1(12 - 0)4“«'‘’(О),

4 = д = 0, ...,р.
Третья глава посвящена исследованию однозначной разрешимости начальной задачи
£дг(л(г)) = /(*)> м(°) = по, и'(0) м(ЛГ_1)(0) = идг-1, (1-4.1)
при условии фредгольмовости оператора В.
Теорема 3.1.1. Пусть В, Адг-ь ..., А1; Ао — замкнутые линейные операторы из Е в Е2, к(ф) — однопараметрическое семейство класса С°°(£ > 0) операторов с аналогичными свойствами и областью определения И (к), не зависящей от 1, причем

Я(В) = П Д(А*_!) П Л(/г) = Е, В(В) С £>(А*_!) П £>(*),
А;=1 /с=
£:(£) сильно непрерывна на В(к), а оператор В фредгольмов и имеет
полный обобщенный жорданов набор относительно оператор-функции

Tjv(£) — Адг_ 1 + Адг_ 2^ + • • • + Ai
(IV — 2)!
+ Л>(ЛГЩ)!+У (iV — 1)! l'(s)ds’

тогда интегро-дифференциалъный оператор Адr(8(t)) имеет па классе К+{Е2) фундаментальную оператор-функцию вида
£N{t) = Г^>) * (W) + RN(t)9(t)) * (126{t) + JVjv(t)6>(i)) * G(i),