Интегральные представления решений и граничные задачи для одного класса линейных трехмерных уравнений третьего порядка с одной сверхсингулярной поверхностью

• Автор: Юсупов, Джамшед Зухуриддинович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 133 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Явные решения одного класса линейных трехмерных уравнений третьего порядка с одной сверхсингулярной поверхностью
1.1. Установление связи между линейным дифференциальным оператором третьего порядка и тремя линейными
дифференциальными операторами первого порядка
1.2. Нахождение явного решения в случае, когда а(х,у,г) еС(О),
Ь(х,у,г) еСх(О), с(х,у,г) еС,(В)
1.2.1. Случай, когда а>1, Р>1
1.2.2. Случай, когда а>1, Р
1.2.3. Случай, когда а>, Р<1
1.2.4. Случай, когда а=1. Р>1
1.2.5. Случай, когда а=1, Р~1
1.2.6. Случай, когда а=1, Р<1
1.2.7. Случай, когда а<1, Р>1
1.2.8. Случай, когда сс<1, Р
1.2.9. Случай, когда а<1, р<1
1.3. Нахождение явного решения в случае, когда а(х,у,г) е ('.(О),
Ь(х,у,г) е Сху( И), с(х,у,г) еСх(0)
1.3.1. Случай, когда а>1, Р>1
1.3.2. Случай, когда а>1, р
1.3.3. Случай, когда а>1, р<1
1.3.4. Случай, когда а=1, [5>1
1.3.5. Случай, когда а=1, Р
1.3.6. Случай, когда а=1, Р<1
1.3.7. Случай, когда а<1, Р>1
1.3.8. Случай, когда а<1, Р~1
1.3.9. Случай, когда а<1, Р<1
1.4. Нахождение явного решения в случае, когда а(х,у,2) е Су(О),
Ь(х,у,г) £ СУ О), с(х,у,г) £ Сху( И)
1.4.1. Случай, когда а>1, р>1
1.4.2. Случай, когда а>1, Р
1.4.3. Случай, когда а>1, Р<1
1.4.4. Случай, когда а 1, Р>1
1.4.5. Случай, когда а=1, Р
1.4.6. Случай, когда а=1, Р<1
1.4.7. Случай, когда а<1, Р>1
1.4.8. Случай, когда а<1, Р
1.4.9. Случай, когда а<1, Р<1
1.5. Нахождение явного решения в случае, когда а(х,у,г) £ Суг(В),
Ь(х,у,г) £ С(Б), с(х,у,г) е Су( О)
1.5.1. Случай, когда а>1, р>1
1.5.2. Случай, когда оо>1, Р
1.5.3. Случай, когда а>1, Р<1
1.5.4. Случай, когда а=1, Р>1
1.5.5. Случай, когда а=1, Р
1.5.6. Случай, когда а=1, Р<1
1.5.7. Случай, когда а<1, Р>1
1.5.8. Случай, когда а<1, Р
1.5.9. Случай, когда а<1, Р<1
1.6. Нахождение явного решения в случае, когда а(х,у,г) £ С/В),
Ь(х,у,г) еСВ), с(х,у,г) еС(В)
1.6.1. Случай, когда а>1, Р>1
1.6.2. Случай, когда а>1, Р
1.6.3. Случай, когда а>1, Р<1
1.6.4. Случай, когда а=1, Р>1
1.6.5. Случай, когда а=1, Р
1.6.6. Случай, когда а=1, Р<1
1.6.7. Случай, когда а<1, Р>1
1.6.8. Случай, когда а<1, Р
1.6.9. Случай, когда а<1, Р<1
1.7. Нахождение явного решения в случае когда а(х,у,г) £ Сух(О),
Ь(х,у,г) £Сг(В), с(х,у,г) еС(Б)
1.7.1. Случай, когда а>1, Р>1
1.7.2. Случай, когда а>1, р
1.7.3. Случай, когда а>1, Р<1
1.7.4. Случай, когда а=1, Р>1
1.7.5. Случай, когда а=1, Р
1.7.6. Случай, когда а=1, Р<1
1.7.7. Случай, когда а<1, Р>1
1.7.8. Случай, когда а<1, Р
1.7.9. Случай, когда а<1, Р<1
Глава 2. Общее представление многообразия решений для одного
класса линейных дифференциальных уравнений третьего порядка
с одной сверхсингулярной областью
2.1. Нахождение общего решения в случае, когда а(х,у,г) еС,(О),
Ь(х,у,г) еСх(В), с(х,у,г) £ Сху(В)
Глава 3. Граничные задачи
3.1. Постановка задачи К| и его решение
3.2. Постановка задачи К2 и его решение
3.3. Постановка задачи К3 и его решение
3.4. Постановка задачи К4 и его решение
3.5. Постановка задачи К5 и его решение
3.6. Постановка задачи К6 и его решение
3.7. Постановка задачи К7 и его решение
3.8. Постановка задачи К* и его решение
3.9. Постановка задачи Ку и его решение
Литература

Первый интеграл сходится, если Ь(х,х,г)еС(Г2), а для существования второго требуется чтобы а(у,у,г)<0, а для сходимости третьего интеграла функция 1'(х,у,2) при х—ху должна удовлетворять следующему условию на Г0
/(х,у,г)(х-у)ч“+1)ехр{а(у;у,2)й>в(х-у)} = 0((х-у)“*); 0<8<1 (1.26)
Таким образом, доказана следующая теорема.
ТЕОРЕМА А 2. Пусть в уравнении (1.1) а>1, 3=1 и коэффициенты между собой связаны при помощи соотношений (1.5), а также:
1. а(х,у,2) еС(В), Ь(х,у,г) еСх(О), с(х,у,г) с(',ху(В), /(х,у,г) еС(О);
2. функции а(х,у,г), Ь(х,у,г) удовлетворяют условиям (1.9), (1.25) соответственно и кроме того, а(у,у,2)>0;
3. функция/(3с,у, г) при х —>у удовлетворяет условию (1.26).
Тогда, любое решение уравнения (1.1) из класса С3(0) представимо в виде (1.24). Замечание А 2.1. Решение вида (1.24) обладает следующими свойствами:
1. и(х,у,4,) =§(х,у),
2. (Рси)(х-у)'Ь(хЛ2) | у=у =ш(х,г),
3. (РьРРси)схр(а(у,у,2)соа(х-у)) | х=х = (р(у,г).
Замечание А 2.2. Пусть М = тах (й(х,х,г)}, тогда поведение решения вида (1.24)
(д-,г),Г2
определяется следующей асимптотической формулой:
и(х,у,г)= 0((х-у'м).
1.2.3. Случай, когда а>1. В<1. Пусть в уравнении (1.1) а> 1, |3<1. Как и ранее в п.
1.2.1. предполагаем, что коэффициенты уравнения между собой связаны при помощи равенств (1.5). В этом случае, уравнение (1.1) также можно представить в виде (1.6), но с условием Р<1.
Аналогично п.1.2.1., если ввести в рассмотрение новую неизвестную функцию У(х,у,г) по формуле:
(.27)
то задача об нахождении общего решения уравнения (1.6) сводится к нахождению общего решения дифференциального уравнения первого порядка вида (1.8).