Точечно-инвариантные классы дифференциальных уравнений, исследование проблемы эквивалентности для уравнений Пенлеве

• Автор: Картак, Вера Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 114 с.

Содержание
0.1 Проблема эквивалентности. Точечно-инвариантные
классы дифференциальных уравнений
0.2 Уравнения Пенлеве
0.3 Содержание главы 1
0.4 Содержание главы 2
0.5 Содержание главы 3
1 Точечно-инвариантные классы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка
1.1 Преобразования производных
1.2 Точечно-инвариантный класс
1.3 Канонический вид уравнений (43)
1.4 Псевдотензорные поля
1.5 Правила преобразования коэффициентов
1.6 Вычисление точечных симметрий уравнения (59). . .
1.7 Уравнения (45), имеющие максимальную алгебру
точечных симметрий
2 Точечная классификация уравнений второго порядка вида у” = Р(х,у) + 3Q(x,y)y' + 3 R(x,y)y'2 + S(x,y)y'3.
2.1 Основные классификационные параметры
2.2 Случай общего положения
2.3 Семь случаев промежуточного вырождения
2.3.1 Первый случай

2.3.2 Второй случай
2.3.3 Третий случай
2.3.4 Четвертый случай
2.3.5 Пятый случай
2.3.6 Шестой случай
2.3.7 Седьмой случай
2.4 Случай максимального вырождения
Проблема эквивалентности для уравнений Пенлеве
3.1 Уравнение Пенлеве
3.2 Уравнение Пенлеве II
3.3 Уравнения Пенлеве III-VI
3.4 Уравнение Пенлеве IV
3.4.1 Параметр 6 =
3.4.2 Параметр 6^
3.5 Уравнение Пенлеве III
3.5.1 Параметр а =
3.5.2 Параметры а = 0 и с
Литература
Приложение А. Значения основных классификационных параметров для уравнений Пенлеве
Приложение В. Значения инвариантов для уравнений Пенлеве
Введение
0.1 Проблема эквивалентности. Точечно-инвариантные классы дифференциальных уравнений
Проблема эквивалентности представляет собой одну из важнейших задач аналитической теории дифференциальных уравнений. Вот почему она привлекала к себе внимание многих ученых [1]-[25], [47]-[49]. Классические работы, посвященные исследованию проблемы эквивалентности, принадлежат Р.Лиувиллю [1], С.Ли [2]-[3], А.Трессе [4]-[5] и относятся к концу XIX века.
Суть проблемы эквивалентности заключается в нахождении (или доказательстве существования) точечной замены переменных, переводящей одно дифференциальное уравнение в другое. Иногда ее понимают как описание класса эквивалентности некоторого дифференциального уравнения относительно точечных преобразований. Основой решения этой проблемы часто является построение инвариантов преобразований, а для этого необходимо, чтобы вид уравнения не менялся при действии на него точечных преобразований. Такие уравнения назовем принадлежащим точечно-инвариантному (замкнутому) классу дифференциальных уравнений.
Наиболее простым таким уравнением является следующее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:
у" = Р(х,у) +ЗС)(х,у)у' + 311(х,у)у'2 + З(х,у)у'3. (1)

Это означает, что Р и 5 являются псевдоинвариантами веса
1 и 2 соответственно. Следовательно условие Р = 0 или 5 = О
сохраняется при замене координат (46).
Следующая пара коэффициентов преобразуется по правилам:
д = д + (52)
ь<5з>
Нетрудно заметить, что при условии Р = 0 коэффициент С} становится инвариантом относительно преобразований (46). Также при 5 = 0 Ь становится псевдоинвариантом.
Правила преобразования остальных коэффициентов:
о'2 - к"
Я = к'К + д,д + ^гР + 3— (54)
г<г - Ад'- 10д'2 - к" -
К~К + ~РЬ+ ~Ж3 ~ (55)
Л, и'тС, , О 'г> , 6^% , 105'3Л л , 9"Н - Зд'к" -
М = кМ + ЗдК + — Т + -^-5-— <3 + — Р (56)
ЛГ = к'2й + 2д'к'М + 3д'2к + Ц^-Ь + ^5 - ^Р+ (57)
д''к'-2д'к"~ ,2д"Ы -Зд'к" - к'"к'-3к"
Я + 9------------------779-----------Р +
/г'2 /^'

Т = /г'3Т + з'Л'2# + /й'М + /Л- + + ^5+