Вопросы разрешимости начальных задач для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными

• Автор: Богачева, Юлия Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 114 с.

0.1. Специальные функции
0.2. Интегральные преобразования
0.3. Дробные интегралы и производные
0.4. Полугруппа. Теорема Хилле-Иосиды
0.5. Теорема Уиддера. Свойство Радона-Никодима
ГЛАВА 1. Задача типа Коши для дифференциальных
уравнений, содержащих слагаемые с различными
дробными производными
1.1. Задача типа Коши для простейшего дифференциального уравнения с дробными производными
1.2. Возмущение простейшего дифференциального уравнения ограниченным оператором
1.3. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего слагаемые с различными дробными производными. Модельный случай
1.4. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего слагаемые с различными дробными производными. Общий случай
1.5. Задача типа Коши для неоднородного дифференциального уравнения, содержащего
слагаемые с различными дробными производными
1.6. Дифференциальное уравнение дробного порядка
с переменными коэффициентами
ГЛАВА 2. Задача типа Коши для дифференциальных уравнений, содержащих композицию дробных производных

2.1. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего композицию дробных производных. Случай
2.2. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего композицию дробных производных. Случай
2.3. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего композицию дробных производных и два оператора
2.4. Задача типа Коши для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, содержащего композицию дробных производных.
Случай а + {3 <
2.5. Задача типа Коши для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, содержащего композицию дробных производных.
Случай а + /3
2.6. Задача типа Коши для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, содержащего композицию дробных производных.
Случай 1 < а+(3 <
Глава 3. Итерированная задача типа Коши
3.1.Однородная итерированная задача типа Коши
3.2. Неоднородная итерированная задача типа Коши
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Мысль об обобщении понятия дифференцирования dpf(t)/dtp на нецелые значения р возникла с самого зарождения дифференциального исчисления. Первые шаги были сделаны JI. Эйлером в 1738 г., П. Лапласом в 1812 г., Ж. Фурье в 1822 г. Собственно историю дробного исчисления следует вести с работ Н.Х. Абеля и Ж. Лиувилля, появившихся в 30-е годы 19 века. Рядом с работами Ж. Лиувилля по значимости следует поставить работы Б. Римана, который пришел к конструкции дробного интегрирования, служащей с тех пор одной из основных форм дробного интегрирования.
Развитие области математического анализа, называемой дробным исчислением, и посвященной исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, обусловлено проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др.
История развития дробного интегродифференцирования знает немало работ, в которых в разное время переоткрывались уже известные результаты, иногда теми же самыми средствами, что и у предшественников, иногда на основе других методов. Это обстоятельство усугублялось тем, что существует большое число различных подходов к дробному интегродиф-ференцированию и, следовательно, различных направлений в дробном исчислении. Сопоставление этих подходов и направлений проводилось редко и было сравнительно мало известно. Важным шагом в развитии стало написание книги, которая объединила разные исследования в направлении по изучению дробных производных и интегралов, написанная С.Г. Самко, A.A. Килбасом и О.И. Маричевым "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения" [34].
Несколько лет спустя появилась книга Miller K., Ross В. "An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations" [42]. Среди во-

Проверим сначала начальные условия (1.4.2). Равенство (0.4.1) можно переписать следующим образом

А“тЯ {Яа (А), А) у0 = Д (Я* (А), Л) Ау0 + и0 - £ а,-Ав'Д (
В этом случае равенство (1.4.15) для ц> € В(Ап+1) запишем в виде
Ыо+100
I1 атта (г) у0 = J ехР (АО
ЩЯа (А), А)Ау0
ёх+
О/0—1ОО
0>о+100
+—~.У.р. [ ехр Ш) ^ ёХ— 27тъ J А
о/о—*оо

У ехрМ

Х^Я(Яа (А), Л) Лг;0

0/0—100 0/0+»оо
=£?’*■ / еч,м
Д(<2а(А),Л)Лг>0
^А + г>о0/0
0/0+*ОО
т-1 . шоу
“ XIа^ън°'р' У ехрМ

Аа'Я (<5„ (А), Л) Ли0
<*А.
(1.4.16)
0/0“ »00
Из последнего равенства вытекает справедливость начального условия (1.4.2). Действительно, при < —У 0 первое слагаемое стремится к нулю, поскольку при I — 0 в силу неравенства (1.4.5) при п = 0, интеграл по части окружности Гг радиуса г = ц/о^ + т2 с центром в начале координат может быть оценен следующим образом

В-{Яа (А), Лг?о)
МГ(ат)г\Ау0\
(:Г СОБ (р-и)атГ
при г —> оо, поэтому
Нш г^и.р. [ <->+о 27гг ё
ехр (А£) Я (фа (А), Л) Ли0
(/А = 0.
0/0