О двухточечных краевых задачах для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

• Автор: Гаприндашвили, Георгий Давидович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 123 c. : ил

ГЛАВА I. О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

§ I. Некоторые вспомогательные предложения

§ 2. О множестве РаМАВ)

§ 3. Леммы о разрешимости краевой задачи

(0.1), (0.2)

§ 4. О вектор-функциях, обладающих

свойствами У(М]Л) и^((я&]Л)

§ 5. Теоремы существования обобщенного

решения

ГЛАВА II. СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ

§ 6. Обобщенное решение и краевые условия

§ 7. Дифференцируемость обобщенного
решения
ГЛАВА III. О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ
§ 8. Регулярная задача
§ 9. Сингулярная задача Дирихле
§ 10. Смешанные задачи с сингулярностями
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

0.1. Основные обозначения и термины.
- к-мерное евклидово пространство, К г: К >
Ял- " [05 + °°[.
X — Е К*1 - вектор-столбец с
компонентами
хА.. .Х*.
Если 4 6 •
- вектор из ^2'1а+1 с компонентами
ЗС*^ - скалярное произведение векторов ^ » а
ЦХ И ="уц>Х - евклидова норма вектора Зс £
Если § Е]0}+ оо[ и Хо,^0 Е |^К , то
,и50.)= Н-'к.И?)
Т з (а,£ )ф,хД )<]аД[х |Г: И )х-1> °} О =4 2)-
УпеэФ - лебегова мера множества 2) £ (К.
- промежутки, т. е. множества типа [а, £^ 3 или ]<*>?[ , где - СТО -с а ■< ^) <£+■ сО-Дг (<А ^)Iк=1 ” К х1ч-матрица с элементами о}^
(и=1,’ц АЦ = .21 а1к |.
0 - нулевая, а £ - единичная КхК-матрицы.
Д1 - матрица, обратная А •
Ах - произведение К х К-матрицы Д на векторстолбец X £ КА
Запись Д>0 означает, что А - К х к-матрица и для любого ненулевого вектора X € 1К Д Х-Х > 0.
А>9 означает, что либо А> В , либо А — В*

Пусть А ">/ 0 . Тогда
У(А)=/3иР{^А:11а1|=^ ЛРЙ А>9
_о при А
Легко видеть, что если А>0 , то
V (х) - полная вариация функции ос: [а, Ь ] —* к на
сегменте
X — (х1)(_г1 • С°3 £3~'> $ называется вектор-функцией ограниченной вариации на [а, Е] » если каждая ее компонента Xі имеет ограниченную вариацию на этом сегменте.

с(м-,5) - множество непрерывных вектор-функций
••М-,3 СМсГ, 2 С КЗ-
) “ множество интегрируемых по Лебегу
*ушпийЖ:[а,6]-*5 (5^1?), аЬ^(^;5) - множество
функций X: ^ > 5 » сужение которых на [оі> 8] принадлежит ЦЖ) для любого сегмента [о^З с ^ • Ясно, что если ^ ~ сегмент, то 1*.Л:3) = иМ.
с‘([ а,83 > 5) - множество вектор-функций
X: ( $ Е ІК^")» каждая компонента которых абсолютно
непрерывна на &] вместе со своей первой производной.
'С&,<,( ^ • $ ) - множество вектор-функций X
(5 Е К,П ) » сужение которых на ^ 3 принадлежит [<*,^] )$ ) Я®1 •шойого сегмента [о(, р] С
КІС01 63 ^ 53 ~ класс Каратеодори, т. е. множество вектор-функций |: [.а, ■£] X > 5 ( 5 с I?П) таких» что | С -Ь, *): ->3 непрерывна при почти всех
£с[а зс| ;[а£] —» ^ измерима при любом X Є и

будут выполнены и условия теоремы 5.1. В самом деле, построим пару Нагумо краевой задачи (0.1), (0.2). Положим
А щ _ А) при а ^ Ь + £
о при а-у(А)^ ^ - а или 6 £ £
( I - 0, ], 2, ) и рассмотрим краевую задачу
,ч>"= 1,т- |>)1п-ии (5.9)
Тр(а-у(А))-^ + 1, тр(«+у(ИЫ.-Н. (5Л0>
Так как ^ ) £ Рь (а- ДА), £ + У(В)) » согласно предложению 2.3 [12], краевая задача (5.9), (5.10) имеет решение СЧСа-у(А)^+уГВ)];Ю- С помощью леммы 1.7 легко покажем, что
^ ^ при а-у(А) £ { £ -6 +у(В).
Ввиду (3.3) и (5.9), выполняется условие (5.2). Кроме того, в силу (5.8)-(5.10),
•ЧЧа)>Тр'(а)у(А), ТгёМВ).
Поэтому, согласно замечаниям 3.2, 3.3 и 5.1, (яр 0) является парой Нагумо краевой задачи (0.1), (0.2).
Теорема 5.3. Пусть соблюдаются следующие условия:
либо А > 0 , либо А — 0 и С4 - О » (5.11]-)
либо 0 , либо В -0 и с,£ ~ О , (5.П2)
вектор-функция | обладает свойством у и, кроме
того,
ос-^.зс^н вдЧЯ,Ц)1М1*-
при (Азс^)б ]а, £[х
гда И)1^ е Ь([а, 63 •, Рч-) [ь
(61. В(с(,6 А, В)* Тогда кРаевая задана (0.1), (0.2)