Разностные методы решения краевых задач для уравнений параболического типа с дробной производной в граничных условиях

• Автор: Худалов, Марат Захарович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Владикавказ
• Количество страниц: 85 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Краевые задачи для уравнения параболического
типа с дробной производной в граничных условиях
§1.1. Задача на полубесконечной полосе
§1.2. Краевая задача для общего уравнения параболического

§1.3. Априорная оценка
§1.4. Построение разностной схемы
§1.5. Погрешность аппроксимации
§1.6. Устойчивость и сходимость разностной схемы
Глава 2. Краевая задача для уравнения параболического
типа с нелокальным условием
§2.1. Постановка задачи
§2.2. Априорная оценка
§2.3. Построение разностной схемы
§2.4. Погрешность аппроксимации
О §2.5. Устойчивость и сходимость разностной схемы
§2.6. Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа
§2.7. Априорная оценка
§2.8. Метод Ротэ
§2.9. Разностная схема для нагруженного уравнения парабо-

лического типа
§2.10. Порядок аппроксимации
§2.11. Устойчивость и сходимость разностной схемы
Глава 3. Краевая задача для уравнения параболического ^ типа с нелокальным условием по времени на границе

§3.1. Постановка задачи
§3.2. Априорная оценка
§3.3. Метод Ротэ
§3.4. Построение разностной схемы
§3.5. Погрешность аппроксимации
§3.6. Устойчивость и сходимость схемы
§3.7. Нелокальная задача для обобщенного уравнения переноса
§3.8. Априорная оценка
§3.9. Нелокальная задача для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной. Априорная оценка .
§3.10. Построение разностной схемы
§3.11. Погрешность аппроксимации
§3.12. Устойчивость и сходимость разностной схемы
Литература
Использование дробных производных для описания и изучения физических процессов стохастического переноса стало в последние годы одной из популярных областей физики, многие проблемы фильтрации жидкости в сильно-пористых (фрактальных) средах приводят также к необходимости изучения краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка [34], [48], [50], [7], [18], [19], [20].
Сама идея обобщения понятия дифференцирования на нецелые
р возникла с самого зарождения дифференциального исчисления, первые работы в этом направлении принадлежат Г. Лейбницу, Я. Бернулли, Л. Эйлеру и Ж. Фурье [58],[59],[64].
В 1832-1837гг. появляется серия работ Лиувилля [64]—[70], сделавших его по праву создателем теории дробного исчисления. В работах Б.Римана, Х.Хольмгрена, А. Летникова, А. Грюнвальда [62] было продолжено изучение производных любого порядка.
К первым работам по теории дифференциальных уравнений дробного порядка следует отнести работы L. O’Shaughnessy, S. Mandelbrojt [77],[75]. Задачу типа Коши для уравнения D%xy = f{x,y) рассмотрели E.Pitcher, W.E. Sewell в работе [72], в которой они доказали теорему существования и единственности решения рассматриваемой задачи. В дальнейшем эти результаты были значительно обобщены в работах M.A.Bassam, A.Z.A1. Abedeen, A.Z.A1. Abedeen, H.L.Arora [60]—[63], где получен ряд результатов, аналогичных теоремам из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
В работе А.М.Нахушева [31] изучена задача Штурма - Лиувилля для дифференциального уравнения дробного порядка

Ьу = у"(х) + ао{х)у'(х) + ^Tak{x)D&k (wk(x)y(x)) + ат+1(х)у(х) = f(x),

О < ак < 1,ао(х),aTO+i, ак(х), ш*(х), к = 1,2,...,m; f(x)— непрерывные на [0,1] функции, Dqx— оператор дробного в смысле Римана-Лиувилля диф-

({ких)х,и) = !{ких)хи<1х = кихи^ — J ки^сіх =
і о о

= -д(Оц2(/,<) - + (2-5)

— >3і(і)гі2(0, і) — гл(0, і) / и(х,і)<іх + /хі(і)гг(О, і) — J ки^сіх, о о
(/.«)< 5ІІ/ІІО + ІНІО-
Подставляя (2.5) в тождество (2.4), с учетом неравенства

! ди2<іх < сгІМІо, о
находим
1§іМ2о + сі\пх\1 + ц(Л0р^ ^а)Ш / ~{Г-т)“ + П(°’^ / и<1х ^

^ с2(и2(0,і) + и2(^,*)) + [с2 + ^\и\1 + ^\1 + ^х{і)и{{),ї) + 1Х2^)и{Е,г).
Аналогично, как и выше, оценим слагаемые в правой части последнего неравенства
И{ї)и(,4) ^ ^і(<) + |«2(0,0,
1л2(г)и(е,г) ^ ^ц2(г) + ^«2(М),
и2(0,і) < є||«а||о + Се||гі]|§,
и2(£,і) ^ є|К||о + Сє||«||о.
В результате получим
|^Н“Но + СіІНІо + и(/. *)г(1~а) + П(°' ^ ] ЫХ ^